中考冲刺-数学-第33课图形的旋转

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要点梳理　 1．把一个图形绕着某一个点O转动一定角度的图形变换叫做旋转，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．　　 2．旋转变换的性质：　　(1)对应点到旋转中心的距离相等；　　(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　　(3)旋转前、后的图形全等．　　 3．把一个图形绕着某一个点旋转180° ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．　　关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．　　 4．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ，这个点就是它的对称中心．　 5．确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度 ．
第33课　图形的旋转
　第33课　图形的旋转
6.中心对称与中心对称图形　　中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．　　中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．　　图形的旋转方向可以是顺时针也可以是逆时针方向，经过旋转，图形的位置可能发生改变，也可能不发生改变(当图形旋转360°时，图形的位置没有改变)．作图步骤　(1)分析题目要求，找出旋转中心、旋转角；　(2)分析所作图形，找出构成图形的关键点；　(3)沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，作出各个关键点；　(4)连接作出的各个关键点，并标上相应字母；　(5)写出结论．
　　第33课　图形的旋转
考点巩固测试 1.　(2012·长沙) 下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　) 解析　A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．感悟提高　　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这样的图形才是中心对称图形．变式测试1　(2013·扬州) 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　)　　A．平行四边形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．正方形解析　平行四边形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形，但不是轴对称图形；等边三角形和等腰梯形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形，是轴对称图形；正方形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形，也是轴对称图形．
2.如图所示的图案是一个轴对称图形，直线CD是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是 (　　)　　A．π　　 B．2π　　 C．3π　　 D．4π 解析　S阴影＝(1/2)πr2＝(1/2)π×22＝2π.　　 感悟提高 通过旋转，将图中所有阴影部分集中到一处，可知是一个圆心角为180°的扇形．变式测试2　(2013·山西)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC. 把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2, 则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．(结果保留π)
解析　如图，△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°.∵AB＝2，∴AC＝ ＝BC.由旋转变换知，AC ＝AC′＝2，∠BAC＝∠B′AC′＝45°，
3. (2013·常州) 如图，在△ABC和△CDE中，AB＝AC＝CE，BC＝DC＝DE，AB>BC，∠BAC＝∠DCE＝∠α，点B、C、D在直线l上，按下列要求画图(保留画图痕迹)： (1)画出点E关于直线l的对称点E′，连接CE′、DE′；　　(2)以点C为旋转中心，将(1)中所得△CDE′按逆时针方向旋转，使得CE′与CA重合，得到△CD′E″(A)，画出△CD′E″(A)，解决下面问题：　　①线段AB和线段CD′的位置关系是_______，并说明理由；　　②求∠α的度数． 　　解　(1)画对称点E′.　　 (2)画△CD′E″(A)．　　①平行．理由如下：　　∵∠DCE＝∠DCE′＝∠D′CA＝∠α，　　∴∠BAC＝∠D′CA＝∠α，∴AB∥CD′.　　②∵四边形ABCD′是等腰梯形，　　∴∠ABC＝∠D′AB＝2∠BAC＝2∠α.　　∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠α.　　在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，　　即∠α＋2∠α＋2∠α＝180°，∠α＝36°. 感悟提高 　　(1)抓住旋转中的“变”与“不变”；　　(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；　　(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．
变式测试3　(1)如图，在直角坐标系中，有一点P(3，3)，两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且sinP＝，则△MON的周长等于________． 解析　过点P分别画x轴、y轴的垂线段，垂足分别为A1、A(如图)，则PA＝PA1＝3，将△PAM绕点P逆时针旋转90°，得△PA1M1，则△PAM≌△PA1M1.　　　　∴∠MPN＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.　　又∵∠1＝∠3，　　∴∠2＋∠3＝45°，即∠M1PN＝∠MPN＝45°. 　　又∵PM1＝PM，PN＝PN，　　∴△PM1N≌△PMN，M1N＝MN，　　∴△MON的周长ON＋OM＋MN＝ON＋OM＋M1N＝ON＋OM＋ 　　(NA1＋M1A1)＝(ON＋NA1)＋(OM＋AM)＝OA＋OA1＝3＋3＝6.
4.　(2012·广安) 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为__________．(结果用含有π的式子表示)解析　点A先是以点B为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．∵Rt△ABC中，AC＝ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个AA1的长，2个A1A2的长，
感悟提高　　(1)旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角确定；　　(2)旋转作图的一般步骤：①找出旋转中心和旋转角；②确定构成图形的关键点；③沿一定的方向，按一定的角度旋转各个关键点；④连接旋转后的各个关键点，并标上相应的字母，写出结论．在旋转过程中，点所经过的路线的轨迹是圆或圆弧．变式测试4　(2012·六盘水) 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－4，1)，点B的坐标为(－1，1)．　(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；　(2)将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．　
解　(1)如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，点A1的坐标为(1，0)．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形，根据勾股定理，∴旋转过程中C1所经过的路程为