中考冲刺-数学-第34课图形的相似

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要点梳理　　1．比和比例的有关概念：　　 (1)第四比例项：若 或a∶b＝c∶d，那么d叫做a、b、c 的第四比例项 ．　　 (2)比例中项：若 或a∶b＝b∶c，那么b叫做a、c的比例中项．　　 (3)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段黄金分割．即AC2＝AB·BC，2．比例的基本性质及定理：　　3．平行线分线段成比例定理：　　(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；　　(2)平行于三角形一边截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；　
　　(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；　　(4)平行于三角形的一边，并且和其它两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形．相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比 ．5．相似三角形的判定：　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；　　(2)两角对应相等；　　(3)两边对应成比例且夹角相等；　　(4)三边对应成比例；　　(5)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例；　　(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．6．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．直角三角形相似的判定及成比例的线段：　　如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形成比例，那么这两个直角三角形相似．
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC. 　　证明比例式或等积式的方法主要有“三点定型”法：　(1)横向定形：欲证 横向观察，比例式中分子的两条线段是AB和BC，三个字母A、B、C恰为△ABC的顶点；分母的两条线段是DE和EF，三个字母D、E、F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF；　　(2)纵向定形：欲证 纵向观察，比例式中左边的比两条线段AB和BC中的三个字母A、B、C恰为△ABC的顶点；右边的比两条线段DE和EF中的三个字母D、E、F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF；　　
(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常常要用到中间比．四个解题技巧　　判定两个三角形相似的常规思考过程是：　　(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；　　(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例；　　(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；　　(4)若题目出现平行线，则直接运用预备定理得出相似的三角形．五种基本思路　　(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；　　(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或再找夹边成比例(用判定定理2)；　　(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；　　(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；　　(5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．
考点巩固测试 1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 (　　) 解析　分析可以看出图中△ABC是钝角三角形，其钝角为135°，且夹这个角的两边的比为2∶ ＝ ∶1，只有A选项中的三角形符合条件．根据相似三角形的判定定理，它们是相似三角形．感悟提高 此题考查相似三角形的判定知识及观察能力．　变式测试1　如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.　　求证：△ADE∽△EFC. 　　证明　∵DE∥BC，EF∥AB，　　∴∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF，　　∴△ADE∽△EFC.
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD. 　　(1)请再写出图中另外一对相等的角；　　(2)若AC＝6，BC＝9，试求梯形ABCD的中位线的长度．　　 解　(1)∵AD∥BC，　　∴∠DAC＝∠BCA.　　(2)∵∠B＝∠ACD，∠BCA＝∠DAC，　　 ∴△BCA∽△CAD，　　∴AC2＝BC·AD，即62＝9·AD，AD＝4，　　∴梯形ABCD的中位线＝½(AD＋BC)＝½×(4＋9)＝6.5.　　答：梯形ABCD的中位线的长度是6.5.感悟提高　　本题主要考查相似三角形的判定、性质，相似三角形性质的应用等．
变式测试2　如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中点，且CE⊥DE.　(1)请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由；　(2)若AD＝1，BC＝2，求AB的长． 　　解　(1)相似，理由如下：　　∵AD∥BC，∠B＝90°，　　∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，　　∴∠ADE＋∠AED＝90°.　　∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∠AED＋∠BEC＝90°，　　∴∠ADE＝∠BEC.　　又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.　　(2)∵△ADE∽△BEC，　　∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝½AB，　　∴AE2＝AD·BC＝1×2＝2，AE＝　　∴AB＝2AE＝ 答：AB的长为
3.　如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积． 　　解　在矩形PQMN中，PN∥＝ QM，　　∴△APN∽△ABC.　　∵AD⊥BC，∴AE⊥PN，　　设ED＝x，　　∵矩形PQMN周长为24，∴PQ＋PN＝12，　　∴PN＝12－x，AD＝16＋x，　　 x2＋4x－32＝0，　　解得x1＝4，x2＝－8(舍去)，　　∴AD＝16＋4＝20，　　∴S△ABC＝½BC·AD＝½×10×20＝100.　　答：△ABC的面积是100.感悟提高　　本题考查的关键是“相似三角形的对应边上的高线之比等于它们的相似比”．
变式测试3　(2013·怀化) 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M.　(1)求证：　(2)求这个矩形EFGH的周长． 　　解　(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，　　∴EF∥GH，∴∠AHG＝∠ABC.　　又∵∠HAG＝∠BAC，　　∴△AHG∽△ABC，　　(2)设HE＝x，　　则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x，　　由(1)可知，　　解得x＝12，2x＝24.　　∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 cm.
4.　如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2∶1.解:分别延长AO、BO到A′，B′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝2∶1.如图，△OA′B′即为所求．感悟提高　　如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫做相似比．
变式测试4　如图，在长为10 cm、宽为6 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形的面积是多少？ 　　解　由题意，可知矩形ABCD∽矩形CDEF，　　　　∴DE＝3.6，　　∴S矩形CDEF＝6×3.6＝21.6 cm2.