期末考试仿真模拟试卷五- 2021届高三数学上学期（原卷+解析）（江苏等八省新高考地区适用）

2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷五

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】在集合N中，由，解得，，

，，.故选：D.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法、补集的概念以及交集运算，属于基础题.

2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（  ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】复数满足，,对应点为，在第一象限.故答案为A.

【点睛】在本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义,属于基础题.

3.已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】且，则，，

A，则，错误；

B. ，正确

C. 若，则，错误；

D. 若，则，错误.故选：B.

【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于基础题.

4.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍.（当较小时，）

A. 1.27 B. 1.26 C. 1.23 D. 1.22

【答案】B

【解析】由题意，,

∴．故选：B．

【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题,属于基础题.

5.在中，，，，点满足，则等于（    ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

【答案】D

【解析】在中，，，，点满足，可得

则==

【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量,属于基础题．

6. 某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（    ）种不同的结果．

A. 36 B. 27 C. 24 D. 18

【答案】A

【解析】由于甲不选足球，共有种选法，乙不选篮球，共有种选法，丙共有种选法，故共有种选法故选：A

【点睛】本题考查排列组合公式的应用，属于基础题

7.设是数列的前n项和，满足，且，则（    ）

A. 10 B.  C.  D. 11

【答案】A

【解析】

因此数列为等差数列，首项为1，公差为1，

即

  故选：A

【点睛】本题考查和项与通项关系、等差数列定义以及通项公式，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.

8.已知点F为双曲线E：的右焦点，直线与E交于不同象限内的M，N两点，若，设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】如图，设左焦点为，连接,，令，，则，由双曲线定义可知①，∵点M与点N关于原点对称，且，∴，∴②，

由①②得，又知，

∴，，

∴，又∵，∴，

∴.

又，∴故选：D

【点睛】本题考查由几何关系求解双曲线离心率取值范围，设法找出与的关系是解题关键，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为（    ）

A.        B.       C.        D.

【答案】ACD

【解析】对于选项A，设，定义域为，，而函数在上递增，函数在上递减，所以函数在上递增，满足题意，正确；

对于选项B，设，定义域为，，而函数在上递增，函数在和上递减，所以函数在和上递增，在整个定义域上不是增函数，不符合题意，不正确；

对于选项C，作出函数的图象，如图所示：．

根据图象可知，满足题意，正确；

对于选项D，设，定义域为，，即，根据复合函数的单调性易知函数在上递增，而函数为奇函数，所以函数在上递增，故函数在上递增，满足题意，正确．故选：ACD．

【点睛】本题主要考查函数的性质的判断，涉及幂函数，指数函数，对数函数的性质应用，单调性的运算，奇偶性的判断，属于基础题题．

10.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A. 16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大

B. 16天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数

C. 16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于

D 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和

【答案】C

【解析】从新增确诊折线看19日降幅最大，但并不呈下降趋势，如20日比19日就是上升的，27,28,29三天还是增加的趋势，A错；

新增确诊病例和新增疑似病例的中位数在21、22日前后，新增疑似病例的中位数比新增确诊病例的中位数大，B错；

三根折线中最大值与最小值的差都大于2000，C正确；

20日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，D错误．故选：C．

【点睛】本题考查折线图的认识，考查学生的数据处理能力．属于基础题．

11.已知，下面结论正确是（    ）

A. 若，且的最小值为，则

B. 存在,使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C. 若在上恰有7个零点，则的取值范围是

D. 若在上单调递增，则的取值范围是(0，]

【答案】BCD

【解析】由题意，

对于选项A, 题意说明函数相邻两个最值的横坐标之差为，周期为，，，A错；

对于选项B,)的图象向右平移个单位长度后得到的图象解析式是，时，，是偶函数，图象关于轴对称，B正确；

对于选项C,时，，在上有7个零点，则，解得，C正确；

对于选项D,f(x)在上单调递增，则，又，故解得，D正确．故选：BCD．

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦型函数的周期性、奇偶性、零点、单调性，考查二倍角公式、诱导公式等，考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力．属于中档题.

12.若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（    ）

A． B．平面平面

C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为

【答案】CD

【解析】对于选项A

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，，，

所以，，

因为，所以与不垂直，故A错误；

对于选项B  ，

设平面的一个法向量为，则

由，得，所以，

不妨取，则，

所以，

同理可得设平面的一个法向量为，

故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；

对于选项C    在长方体中，平面，

故是三棱锥的高，

所以，故C正确；

对于选项D  三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

故外接球的半径，

所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.故选：CD.

【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积,属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．

13. 的展开式中的系数是__________．

【答案】45

【解析】的展开式中

令 系数为

故答案为45.

【点睛】本题主要考查了二项展开式已知展开式的某项，求特定项的系数,可先由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数,属于基础题.

14. 若直线： 经过点(2,4)，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】由题意得当且仅当 即 时等号成立，即所求的最小值为 ．

【点睛】本题主要考查了基本不等式常值代换求最值,属于基础题.

15.已知点在抛物线：上，则抛物线方程为____________;过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为______.

【答案】   

【解析】因为点在抛物线：上，

所以，得，所以，

设过点的直线方程为：，

所以 ，所以，

设，，

所以，，

又因为，所以，

所以，因为直线的斜率，

由，所以或，所以

故答案为：

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.

16.已知定义在上的函数，定义函数（其中为实数），若对于任意的，都有，则的取值范围为___________

【答案】

【解析】由题若对于任意的，都有，则有在恒成立，

只需，

因为，

所以，

令，则，∴在上单调递增，

又由，，

∴满足，即有，

此时在上单调递减，在上单调递增，

所以

∴.故答案为:

【点睛】本题主要考查了导数的方法研究方程有实根的问题，将问题转化为不等式恒成立求解，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 现在给出三个条件：①a＝2；②B；③cb.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC，并以此为依据，求△ABC的面积.

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足，求△ABC的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）

【答案】选①③；

【解析】如选①③因为，

由正弦定理可得，,

因为，所以，

又因为，

由余弦定理可得，，

解得，

故.

【点睛】本题主要考查补全题目条件解三角形， 涉及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

18.已知数列的前项和为，满足：，，数列为等比数列，满足，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.

【答案】（1），；（2）当时，.当时，，即有.

【解析】（1）由，得，

即，又，

所以数列是首项和公差均为1的等差数列，可得.

因为数列为等比数列，满足，，，所以设公比为，可得，所以，

当时，，可得.

当时，，得，不满足，舍去，所以.

（2），

，，

此时

易知：当时，.

当时，，即有.

【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查了数列的裂项相消求和以及不等式的性质，考查了运算能力和推理能力，属于基础题．

19. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在，，且，.设.

（1）当异面直线与所成角的大小为，求的值

（2）当时，求二面角的大小.

【答案】（1）；（2）.

【解析】因为直三棱柱，所以平面，

因为平面，所以，，

又因为，

所以建立分别以，，为，，轴的空间直角坐标系.

（1）设，则，，

各点的坐标为，，，.

，.因为，，

又异面直线与所成角的大小为所以，所以.

（2）因为，.∴，

设平面的法向量为，则，且.

即，且.

令，则，.又，

所以是平面的一个法向量.

同理，是平面的一个法向量.

所以所以平面，

当时，二面角的大小为．

【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角以及求二面角的方法，属于基础题.

20.某电商平台为提升服务质量，从用户系统中随机选出300名客户，对该平台售前服务和售后服务的评价进行统计，得到一份样本数据，并用以估计所有用户对该平台服务质量的满意度．其中售前服务的满意率为，售后服务的满意率为，对售前服务和售后服务都不满意的客户有20人

（1）完成下面列联表，并分析是否有97.5%的把握认为售前服务满意度与售后服务满意度有关；

（2）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务两项都满意的客户保有率为95%，只对其中一项不满意的客户保有率为66%，对两项都不满意的客户保有率为1%，从该运营系统中任选3名客户，求在业务服务协议终止时保有客户人数的分布列和期望，

附：，．

【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关；（2）分布列见解析，数学期望为．

【解析】（1）由题意知对售前服务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得列联表如下：

经计算得，

所以有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关．

（2）在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务都满意的客户保有的概率为，

只有一项满意的客户保有的概率为，

对二者都不满意的客户保有的概率为．

所以，从系统中任选一名客户保有的概率为，

故，，

，，

，

（3）的分布列为：

．

【点睛】此题考查独立性检验、超几何分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查分析问题的能力，属于中档题

21. 已知点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，与轴相交于两点，且是边长为2的正三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆，设圆上任意一点处的切线交椭圆于两点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)根据题干可得到轴，则，是边长为2的正三角形，则，进而得到方程；（2）首先考虑切线斜率不存在时可得到，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线和椭圆，根据韦达定理得到，进而得到，.

【详解】（1）由题意可知轴，则，又是边长为2的正三角形，则，

解得，，所以椭圆的方程为.

（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，

由（1）知，，，，，

∴，∴，此时.

当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线方程为.

设，，则，即.

联立直线和椭圆的方程得，

得，，.

∵，，

∴，∴.

综上所述，为定值.

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，其中直线与圆锥曲线的问题常列出方程组，最终转化为一元二次方程问题，然后用韦达定理及判别式解决,属于中档题.

22.已知.其中常数.

（1）当时，求在上的最大值；

（2）若对任意均有两个极值点，

（ⅰ）求实数b的取值范围；

（ⅱ）当时，证明：.

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.

【解析】（1）由得，，

求导，令,则，

，，，即

在上单增，且，

即，，在上单减，

.

（2）（ⅰ）求导，

因对任意均有两个极值点，所以有两个根，

，则令，得

当时，，单减；当时，，单增，

由有两个根，知，

即对任意都成立，设，求导，

令，得，

当时，，单增；当时，，单减，

，

又，

所以实数b的取值范围是：.

（ⅱ）当时，，令，则

令，得

当时，，单减；当时，，单增，

又是两根，且，

，

设，

即，

则

在单增，，即

又，，

又在上单增，

，即，

又在上单减，

令，

则，

在单增，且，

，故在单增

又，，即

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及通过构造函数证明不等式，考查了学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.