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冲刺模拟卷07-决胜2021届高三高考数学备考优生50天冲刺系列（江苏等八省市新高考地区专用）（原卷 解析）
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决胜2021高考数学50天冲刺系列卷
冲刺系列卷(07)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由集合A中的函数，得到，解得：，
集合, 由集合中的函数，，得到，
集合，则．故选：B．
【点睛】本题考查了对数型函数定义域以及指数函数值域,考查了交集运算,属于基础题.
2.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ）
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 的虚部为-1
【答案】C
【解析】由，
对于选项A，，故A为真命题；
对于选项B，由，则，故B为真命题；
对于选项C，的共轭复数为，故C为假命题；
对于选项D，由，的虚部为-1，故D为真命题,故选：C
【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数的概念、复数的模以及共轭复数，属于基础题.
3.中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件.
依题意得.故选: A
【点睛】本题考查了依据古典概型的概念以及组合的知识简单计算可得结果,属于基础题.
4.函数在的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以为上的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确；当时，，所以，故B不正确;故选:A.
【点睛】【点睛】本题考查了通过研究函数的性质来识别的函数图象,属于基础题.
5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日倍增，小鼠日自半，问几何日相逢?”意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相遇?”两鼠相逢需要的天数最小为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意可知，大鼠与小鼠所打的厚度分别看作数列{an}与{bn}，设其前n项和分别为An，Bn，则数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，所以An＝＝2n－1，Bn＝＝1－，因为An＋Bn≥8，所以2n－1＋1－≥8，解得n≥4，故选:C.
【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：数列求和问题,属于基础题．
6.某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30°，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（ ）平方米（注：，，）
A.990 B.890 C.790 D.690
【答案】C
【解析】如图1，根据题意得：，，，，
所以，故，
故在中，设，则，，
所以，
即：，解得
在正四棱锥中，，，
取中点E，连接，，所以，
由正四棱锥的性质得为直角三角形，
故，
所以，
所以正四棱锥的侧面积为. 故选:C.
【点睛】本题考查了立体几何问题,属于基础题．
7.已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理知，，
，
由双曲线的定义知，
，即
又,故选：B
【点睛】本题考查了由正弦定理得，由双曲线定义知，结合三角形的性质，建立不等关系是解题的关键，属于中档题.
8.当x∈R时，不等式≤ax﹣1恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＝2 B．a＝
C．a≥2 D．e≤a≤e
【答案】A
【解析】令f（x）＝，
∵x＞1时，f（x）＞0，∴a≤0时不合条件；
令h（x）＝，得h′（x）＝，
令g（x）＝2﹣x﹣aex，知g（x）在R上单调递减，
∵h（0）＝0，∴h（x）要在x＝0处取得最大值，∴g（0）＝2﹣a＝0，即a＝2．故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题,属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)
根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系
B. 由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米
C. 曲线与都经过点
D. 模型回归曲线的拟合效果比模型的好
【答案】BD
【解析】对于选项A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A错误；
对于选项B，令，由，
所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.05091.0509万元/平方米，故B正确；
对于选项C，非线性回归曲线不一定经过 ，故C错误；
对于选项D，越大，拟合效果越好，由，故D正确. 故选：BD
【点睛】本题考查了根据散点图的分布可判断A选项的正误；将代入回归方程可判断B选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过 可判断C选项的正误；根据回归模型的拟合效果与的大小关系可判断D选项的正误;属于基础题.
10.，表示不超过x的最大整数，例如，．十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中是真命题的是（ ）
A. ， B. ，，
C. ， D. 函数的值域为
【答案】BD
【解析】由定义得：，故对，故A错；
由定义得：，所以
，所以，故B正确；
由定义得：，故C错；
由定义得：，所以，故的值域为，D正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查了函数新定义问题,正确理解新定义是解题的基础，由新定义转化为不等式关系是解题的关键,属于基础题．
11.已知函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx，则下列正确的是（ ）
A．f（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到
B．x∈（，π）时，|g（x）|<|f（x）|
C．h（x）＝f（x）+g（x）的对称轴方程为：x＝+kπ（k∈Z）
D．若动直线x＝a与函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为
【答案】BD
【解析】函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx，
函数f（x）＝sinx的图象由函数g（x）＝cosx的图象向右平移个单位，得到y＝cos（x﹣）＝sinx的图象，故A正确；
对于B：函数|f（x）|＝|sinx|和|g（x）|＝|cosx|，当时，如图所示：
故B错误；
对于C：h（x）＝f（x）+g（x）＝sinx+cosx＝，
令（k∈Z），解得x＝（k∈Z），故C正确；
对于D：若动直线x＝a与函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的图象分别交于M，N两点，
故|MN|＝|sinx﹣cosx|＝|sin（x﹣）|，
当x＝k（k∈Z）时，|MN|的最大值为，故D正确；故选：ACD．
【点睛】本题考查了三角函数图像与性质,属于中档题.
12.设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. 一定垂直 B. 的最大值为
C. 点P的轨迹方程为 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】对于选项A,m=0时，直线：与：垂直；
时直线：的斜率，：的斜率为，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确；
对于选项B,过定点，过定点，在Rt△PMN中，设，则.故B错误；
对于选项C,由可得点P轨迹方程为().需要取得两个点. 故C错误；
对于选项D,作，则，∴点D轨迹方程为.
∵=，且的最小值为，∴的最小值为.故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查了解析几何问题,常见解题的基本思路有：
①坐标法是解析几何的基本方法.
②解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设t为常数，若的展开式中所有项的系数和为1024，则t＝ ．
【答案】3或﹣1
【解析】令x＝1代入二项式可得：（t﹣1）10＝1024，
所以t﹣1＝±2，则t＝3或﹣1，
故答案为：3或﹣1．
【点睛】本题考查了通过赋值法系数求展开式中所有项的系数和,属于基础题.
14.写出一个满足前5项的和为31，且递减的等比数列的通项___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨设，依题意数列是递减的等比数列，所以，又，所以取公比，所以，所以,故答案为：
【点睛】本题属于开放性试题,考查了等比数列,属于基础题.
15.电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数可以表示成二进制数，，其中，，．用表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则______；对任意，________．
【答案】3
【解析】因为， 所以3，
对，设，
则中有个为1的数，有个，，
所以， 故答案为：3，
【点睛】本题考查了二项式定理,第二空的关键是的转化，再利用二项式定理而得解,属于中档题.
16.已知A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点在体积为36π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为4和2，则AB，CD的伴随球的表面积的取值范围是 ．
【答案】[，]
【解析】由题意可知，球的半径为R＝3，分别取球O的两条弦AB，CD的中点M，N，
则OM＝，ON＝，即弦AB，CD分别是以O为球心，
半径为1和2的球的切线，且弦CD在以O为球心，半径为1的球的外部，
MN的最大距离为2+1＝3，最小距离为2﹣1＝1．
当M，O，N三点共线时，分别取最大值3与最小值1．
故半径分别为，，
当半径为时，AB，CD的伴随球的体积为，
当半径为时，AB，CD的伴随球的体积为．
∴AB，CD的伴随球的体积的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
【点睛】本题考查了“伴随球”这一新概念以及三棱锥外接球的综合问题,考查了空间思维及想象能力,有一定难度,属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（2）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得①
②
①﹣②得，
可得．
【点睛】本题考查了等比数列基本量运算以及错位相减法求和，考查了数学运算能力，属于基础题.
18.在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】①∵（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac，即b2﹣（a﹣c）2＝ac，
∴a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理知，cosB＝＝＝，
∵B∈（0，π），∴B＝．
③∵tan＝sinC，
∴tan＝sinC，即＝2sincos，
∵C∈（0，π），∴cos＞0，∴2sin2＝1，即C＝．
选择①②：由上知B＝，
∵cos（A+B）＝sin（A﹣B），
∴cosA﹣sinA＝sinA﹣cosA，即（1+）cosA＝（1+）sinA，
∴tanA＝1，
∵A∈（0，π），∴A＝，sinA＝，
由正弦定理知，，
∴＝，∴b＝2．
选择①③：B＝，C＝，
∵a＝2，∴b＝2．
选择②③：由上知C＝，
∵cos（A+B）＝sin（A﹣B）＝cos（π﹣C）＝﹣cosC＝0，
∴A﹣B＝0，即A＝B＝，
∴b＝a＝2．
【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简，属于基础题.
19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查，潜伏期为1~14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示.
（1）由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）
（2）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求.（精确到）
附：①，；②，则，；③，.
【答案】（1）人（2）
【解析】（1）由题意知：.
因为服从正态分布，其中，，，
∴服从正态分布，
而，
∴，
∴竞赛成绩超过的人数估计为人.
（2）由（1）知，成绩超过的概率为，
而，
∴.
【点睛】本题考查了频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.
（1）求证:平面平面；
（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）平面，平面，得.
又，在中，得，
设中点为，连接，
则四边形为边长为1的正方形，所以，且，
因为，所以，
又因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，.
又设，则，，， ，.由且知，为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
即，取，，则，有，得，从而，.
设直线与平面所成的角为，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了勾股定理、线面垂直的性质、空间面面垂直的判定定理以及求线面角的正弦值，最常见的求线面角的方法是分别求出所涉及平面的一个法向量，然后通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角得到线面角的正弦值的大小，考查了学生的空间想象能力及计算能力,属于中档题.
21.已知椭圆的离心率为；且经过点A(0，－1)，过点A且斜率为k的直线与抛物线的交于点B，C，且C为AB的中点．
(1)求椭圆的标准方程及点C的纵坐标；
(2)若过点C且斜率为－k的直线与椭圆交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最大值及此时抛物线的方程．
【答案】（1）；；（2）3,x2＝y．
【解析】(1)由题意得，其中，且b＝1，故，
所以，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为．
设B(x2，)，C(x1，)，
因为点C是AB的中点，所以2x1＝x2，①
且，即＝，整理得，
显然，x1x2＝2p， ②
联立①②，得x12＝p，故点C的纵坐标为
(2)由(1)得2p ×＝x12，故，
据图形的对称性，不妨设，，即，
所以点C的坐标为．
直线MN：，即y＝－kx＋2，设
联立方程组，整理得，
则D＞0，且x3＋x4＝，x3x4＝，
即且，
故．
又点A(0，－1)到直线MN的距离为，
所以四边形AMBN的面积S＝2S△AMN＝2×MN×d＝＝12，
令t＝4k2－3＞0，所以S＝12＝12≤12＝3，
当且仅当t＝，t＝4时，等号成立，
此时k＝，p＝，抛物线C2的方程为x2＝y．
【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系中有关最值或范围问题,属于中档题.
22.已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）增函数；；（2）答案见解析.
【解析】（1），
当时，，，∴，
当时，，，∴，
当时，，
所以当时，，即在R上是增函数；
又，所以的解集为．
（2））函数的定义域为
由（1）得，函数在单调递增，
当时，，又，
所以时，恒成立，即时，无零点.
当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点
下面讨论函数在的零点个数：
，所以
①当时，因为，
又函数在区间递减，所以
即当时，，
所以单调递减，由得：当时，递增
当时，递减
当时，，当时
又，
当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点；
②当时，，由①得：当时，，递增，
当时，，递减，所以，，
所以当时函数有2个零点
③当时，
，，即成立，由，
所以当时函数有1个零点
综上所述：当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数零点个数，考查了分类讨论思想，属于稍难题.
决胜2021高考数学50天冲刺系列卷
冲刺系列卷(07)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由集合A中的函数，得到，解得：，
集合, 由集合中的函数，，得到，
集合，则．故选：B．
【点睛】本题考查了对数型函数定义域以及指数函数值域,考查了交集运算,属于基础题.
2.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ）
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 的虚部为-1
【答案】C
【解析】由，
对于选项A，，故A为真命题；
对于选项B，由，则，故B为真命题；
对于选项C，的共轭复数为，故C为假命题；
对于选项D，由，的虚部为-1，故D为真命题,故选：C
【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数的概念、复数的模以及共轭复数，属于基础题.
3.中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件.
依题意得.故选: A
【点睛】本题考查了依据古典概型的概念以及组合的知识简单计算可得结果,属于基础题.
4.函数在的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以为上的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确；当时，，所以，故B不正确;故选:A.
【点睛】【点睛】本题考查了通过研究函数的性质来识别的函数图象,属于基础题.
5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日倍增，小鼠日自半，问几何日相逢?”意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相遇?”两鼠相逢需要的天数最小为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意可知，大鼠与小鼠所打的厚度分别看作数列{an}与{bn}，设其前n项和分别为An，Bn，则数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，所以An＝＝2n－1，Bn＝＝1－，因为An＋Bn≥8，所以2n－1＋1－≥8，解得n≥4，故选:C.
【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：数列求和问题,属于基础题．
6.某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30°，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（ ）平方米（注：，，）
A.990 B.890 C.790 D.690
【答案】C
【解析】如图1，根据题意得：，，，，
所以，故，
故在中，设，则，，
所以，
即：，解得
在正四棱锥中，，，
取中点E，连接，，所以，
由正四棱锥的性质得为直角三角形，
故，
所以，
所以正四棱锥的侧面积为. 故选:C.
【点睛】本题考查了立体几何问题,属于基础题．
7.已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理知，，
，
由双曲线的定义知，
，即
又,故选：B
【点睛】本题考查了由正弦定理得，由双曲线定义知，结合三角形的性质，建立不等关系是解题的关键，属于中档题.
8.当x∈R时，不等式≤ax﹣1恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＝2 B．a＝
C．a≥2 D．e≤a≤e
【答案】A
【解析】令f（x）＝，
∵x＞1时，f（x）＞0，∴a≤0时不合条件；
令h（x）＝，得h′（x）＝，
令g（x）＝2﹣x﹣aex，知g（x）在R上单调递减，
∵h（0）＝0，∴h（x）要在x＝0处取得最大值，∴g（0）＝2﹣a＝0，即a＝2．故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题,属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)
根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系
B. 由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米
C. 曲线与都经过点
D. 模型回归曲线的拟合效果比模型的好
【答案】BD
【解析】对于选项A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A错误；
对于选项B，令，由，
所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.05091.0509万元/平方米，故B正确；
对于选项C，非线性回归曲线不一定经过 ，故C错误；
对于选项D，越大，拟合效果越好，由，故D正确. 故选：BD
【点睛】本题考查了根据散点图的分布可判断A选项的正误；将代入回归方程可判断B选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过 可判断C选项的正误；根据回归模型的拟合效果与的大小关系可判断D选项的正误;属于基础题.
10.，表示不超过x的最大整数，例如，．十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中是真命题的是（ ）
A. ， B. ，，
C. ， D. 函数的值域为
【答案】BD
【解析】由定义得：，故对，故A错；
由定义得：，所以
，所以，故B正确；
由定义得：，故C错；
由定义得：，所以，故的值域为，D正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查了函数新定义问题,正确理解新定义是解题的基础，由新定义转化为不等式关系是解题的关键,属于基础题．
11.已知函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx，则下列正确的是（ ）
A．f（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到
B．x∈（，π）时，|g（x）|<|f（x）|
C．h（x）＝f（x）+g（x）的对称轴方程为：x＝+kπ（k∈Z）
D．若动直线x＝a与函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为
【答案】BD
【解析】函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx，
函数f（x）＝sinx的图象由函数g（x）＝cosx的图象向右平移个单位，得到y＝cos（x﹣）＝sinx的图象，故A正确；
对于B：函数|f（x）|＝|sinx|和|g（x）|＝|cosx|，当时，如图所示：
故B错误；
对于C：h（x）＝f（x）+g（x）＝sinx+cosx＝，
令（k∈Z），解得x＝（k∈Z），故C正确；
对于D：若动直线x＝a与函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的图象分别交于M，N两点，
故|MN|＝|sinx﹣cosx|＝|sin（x﹣）|，
当x＝k（k∈Z）时，|MN|的最大值为，故D正确；故选：ACD．
【点睛】本题考查了三角函数图像与性质,属于中档题.
12.设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. 一定垂直 B. 的最大值为
C. 点P的轨迹方程为 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】对于选项A,m=0时，直线：与：垂直；
时直线：的斜率，：的斜率为，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确；
对于选项B,过定点，过定点，在Rt△PMN中，设，则.故B错误；
对于选项C,由可得点P轨迹方程为().需要取得两个点. 故C错误；
对于选项D,作，则，∴点D轨迹方程为.
∵=，且的最小值为，∴的最小值为.故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查了解析几何问题,常见解题的基本思路有：
①坐标法是解析几何的基本方法.
②解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设t为常数，若的展开式中所有项的系数和为1024，则t＝ ．
【答案】3或﹣1
【解析】令x＝1代入二项式可得：（t﹣1）10＝1024，
所以t﹣1＝±2，则t＝3或﹣1，
故答案为：3或﹣1．
【点睛】本题考查了通过赋值法系数求展开式中所有项的系数和,属于基础题.
14.写出一个满足前5项的和为31，且递减的等比数列的通项___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨设，依题意数列是递减的等比数列，所以，又，所以取公比，所以，所以,故答案为：
【点睛】本题属于开放性试题,考查了等比数列,属于基础题.
15.电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数可以表示成二进制数，，其中，，．用表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则______；对任意，________．
【答案】3
【解析】因为， 所以3，
对，设，
则中有个为1的数，有个，，
所以， 故答案为：3，
【点睛】本题考查了二项式定理,第二空的关键是的转化，再利用二项式定理而得解,属于中档题.
16.已知A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点在体积为36π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为4和2，则AB，CD的伴随球的表面积的取值范围是 ．
【答案】[，]
【解析】由题意可知，球的半径为R＝3，分别取球O的两条弦AB，CD的中点M，N，
则OM＝，ON＝，即弦AB，CD分别是以O为球心，
半径为1和2的球的切线，且弦CD在以O为球心，半径为1的球的外部，
MN的最大距离为2+1＝3，最小距离为2﹣1＝1．
当M，O，N三点共线时，分别取最大值3与最小值1．
故半径分别为，，
当半径为时，AB，CD的伴随球的体积为，
当半径为时，AB，CD的伴随球的体积为．
∴AB，CD的伴随球的体积的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
【点睛】本题考查了“伴随球”这一新概念以及三棱锥外接球的综合问题,考查了空间思维及想象能力,有一定难度,属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（2）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得①
②
①﹣②得，
可得．
【点睛】本题考查了等比数列基本量运算以及错位相减法求和，考查了数学运算能力，属于基础题.
18.在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】①∵（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac，即b2﹣（a﹣c）2＝ac，
∴a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理知，cosB＝＝＝，
∵B∈（0，π），∴B＝．
③∵tan＝sinC，
∴tan＝sinC，即＝2sincos，
∵C∈（0，π），∴cos＞0，∴2sin2＝1，即C＝．
选择①②：由上知B＝，
∵cos（A+B）＝sin（A﹣B），
∴cosA﹣sinA＝sinA﹣cosA，即（1+）cosA＝（1+）sinA，
∴tanA＝1，
∵A∈（0，π），∴A＝，sinA＝，
由正弦定理知，，
∴＝，∴b＝2．
选择①③：B＝，C＝，
∵a＝2，∴b＝2．
选择②③：由上知C＝，
∵cos（A+B）＝sin（A﹣B）＝cos（π﹣C）＝﹣cosC＝0，
∴A﹣B＝0，即A＝B＝，
∴b＝a＝2．
【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简，属于基础题.
19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查，潜伏期为1~14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示.
（1）由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）
（2）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求.（精确到）
附：①，；②，则，；③，.
【答案】（1）人（2）
【解析】（1）由题意知：.
因为服从正态分布，其中，，，
∴服从正态分布，
而，
∴，
∴竞赛成绩超过的人数估计为人.
（2）由（1）知，成绩超过的概率为，
而，
∴.
【点睛】本题考查了频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.
（1）求证:平面平面；
（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）平面，平面，得.
又，在中，得，
设中点为，连接，
则四边形为边长为1的正方形，所以，且，
因为，所以，
又因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，.
又设，则，，， ，.由且知，为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
即，取，，则，有，得，从而，.
设直线与平面所成的角为，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了勾股定理、线面垂直的性质、空间面面垂直的判定定理以及求线面角的正弦值，最常见的求线面角的方法是分别求出所涉及平面的一个法向量，然后通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角得到线面角的正弦值的大小，考查了学生的空间想象能力及计算能力,属于中档题.
21.已知椭圆的离心率为；且经过点A(0，－1)，过点A且斜率为k的直线与抛物线的交于点B，C，且C为AB的中点．
(1)求椭圆的标准方程及点C的纵坐标；
(2)若过点C且斜率为－k的直线与椭圆交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最大值及此时抛物线的方程．
【答案】（1）；；（2）3,x2＝y．
【解析】(1)由题意得，其中，且b＝1，故，
所以，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为．
设B(x2，)，C(x1，)，
因为点C是AB的中点，所以2x1＝x2，①
且，即＝，整理得，
显然，x1x2＝2p， ②
联立①②，得x12＝p，故点C的纵坐标为
(2)由(1)得2p ×＝x12，故，
据图形的对称性，不妨设，，即，
所以点C的坐标为．
直线MN：，即y＝－kx＋2，设
联立方程组，整理得，
则D＞0，且x3＋x4＝，x3x4＝，
即且，
故．
又点A(0，－1)到直线MN的距离为，
所以四边形AMBN的面积S＝2S△AMN＝2×MN×d＝＝12，
令t＝4k2－3＞0，所以S＝12＝12≤12＝3，
当且仅当t＝，t＝4时，等号成立，
此时k＝，p＝，抛物线C2的方程为x2＝y．
【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系中有关最值或范围问题,属于中档题.
22.已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）增函数；；（2）答案见解析.
【解析】（1），
当时，，，∴，
当时，，，∴，
当时，，
所以当时，，即在R上是增函数；
又，所以的解集为．
（2））函数的定义域为
由（1）得，函数在单调递增，
当时，，又，
所以时，恒成立，即时，无零点.
当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点
下面讨论函数在的零点个数：
，所以
①当时，因为，
又函数在区间递减，所以
即当时，，
所以单调递减，由得：当时，递增
当时，递减
当时，，当时
又，
当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点；
②当时，，由①得：当时，，递增，
当时，，递减，所以，，
所以当时函数有2个零点
③当时，
，，即成立，由，
所以当时函数有1个零点
综上所述：当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数零点个数，考查了分类讨论思想，属于稍难题.
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