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冲刺模拟卷05-决胜2021届高三高考数学备考优生50天冲刺系列（江苏等八省市新高考地区专用）（原卷 解析）
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这是一份冲刺模拟卷05-决胜2021届高三高考数学备考优生50天冲刺系列（江苏等八省市新高考地区专用）（原卷 解析），文件包含冲刺系列卷05-决胜2021年全国高考数学备考优生50天冲刺系列江苏等八省市新高考地区专用原卷版doc、冲刺系列卷05-决胜2021年全国高考数学备考优生50天冲刺系列江苏等八省市新高考地区专用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
决胜2021高考数学50天冲刺系列卷
冲刺系列卷(05)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以单调递减，由可得，
即，所以，，故选:B.
【点睛】本题考查了结合指数函数的单调性化简集合，从而可求出两集合的交集和并集,属于基础题.
2.已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】，
对应的点的坐标为，在第三象限，故选：C
【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题.
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【答案】C
【解析】由于是偶函数，故，，
由于在是增函数，所以，即b＜c＜a.故选:C
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性,考查了比较大小,属于基础题.
4.某人在同一群体中调查了人们对6杯饮品口感的看法，得到数据如表：
饮品
第1杯
第2杯
第3杯
第4杯
第5杯
第6杯
好评率
0.13
0.52
0.22
0.45
0.98
0.30
差评率
0.87
0.48
0.78
0.55
0.02
0.70
根据这些数据，可知这一群体意见分歧较大的两杯饮品是（ ）
A. 第1杯与第3杯 B. 第2杯与第4杯
C. 第1杯与第5杯 D. 第3杯与第5杯
【答案】B
【解析】第1杯饮品好评率与差评率的差值为，
第2杯饮品好评率与差评率的差值为，
第3杯饮品好评率与差评率的差值为，
第4杯饮品好评率与差评率的差值为，
第5杯饮品好评率与差评率的差值为，
第6杯饮品好评率与差评率的差值为，
其中较小的差值为第2杯与第4杯.故选:B.
【点睛】本题考查了统计，属于基础题.
5.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图知，函数是偶函数，且当时，函数的极大值点小于，
对于选项A，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故A正确；
对于选项B，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故B不正确；
对于选项C，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故C不正确；
对于选项D，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故D不正确；故选：A
【点睛】本题考查了由图象判断函数的解析式，综合考查了函数的基本性质，导数研究函数的极值点，考查了逻辑推理的能力，考查了数形结合的思想,属于基础题.
6.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8×101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（ ）
A．101.35E B．1.35E C．100.9E D．90E
【答案】A
【解析】设玉树地震最大振幅为Amax，则汶川地震最大振幅为100.9Amax，
∴M玉树＝lg，M汶川＝lg＝0.9+lg＝0.9+M玉树，
∴E玉树＝104.8×，
∴E汶川＝104.8×＝104.8××101.5×0.9＝E玉树×101.35＝101.35E，故选：A．
【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：指数对数运算,属于基础题.
7.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.故选：B.
【点睛】本题考查了根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率,属于中档题.
8. 8.已知定义在上的函数满足,且当时,，若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,且当时, ,所以当时, ,则,当时, ,则在上单调递减.因为方程有三个不同的交点,作出函数的大致图象,如图所示.当直线和的图象相切时,结合图象,设切点为,由,可得,代入方程,可得;当直线过点时, ,由图可知实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的单调性、导数的几何意义、方程思想,属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心（，）
B．若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强
C．若相关指数R2的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高
【答案】ABD
【解析】对于A，回归方程必定经过样本中心（，），故选项A正确；
对于B，由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；
对于C，若相关指数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C错误；
对于D，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了回归分析,属于基础题.
10.已知函数f（x）＝﹣sin（2x+），g（x）＝cos（2x﹣），则（ ）
A．f（x）与g（x）的图象关于原点对称
B．g（x）在[0，]上的最大值为
C．f（x）的对称轴为x＝+kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到g（x）的图象
【答案】AD
【解析】∵函数f（x）＝﹣sin（2x+）＝sin（2x﹣），g（x）＝cos（2x﹣）＝sin（2x+），
∴g（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin（2x﹣），即f（x）＝﹣g（﹣x），故f（x）与g（x）的图象关于原点对，故A正确；
当x∈[0，]，2x+∈[，]，故当2x+＝时，g（x）取得最大值为1，故B错误；
当x＝+kπ，k∈Z时，f（x）＝sin（2kπ+）＝，不是最值，故C错误；
将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到g（x）＝sin（2x+）的图象，故D正确，
故选：AD．
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,属于基础题.
11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（ ）
A．f（x）的展开式中的常数项是56
B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0
C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70
D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位
【答案】BC
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，
则圆柱的体积，球的体积，可得m＝＝，
圆柱的表面积，
球的表面积为，则n＝，可得．
∴f（x）＝（x3）8＝（x3）8，
其二项展开式的通项为，
令24﹣4r＝0，得r＝6，常数项为，故A错误；
各项系数和为f（1）＝0，故B正确；
二项式系数的最大值为，故C正确；
f（i）＝，故D错误．
故选：BC．
【点睛】本题考查了以数学文化为背景,考查了立体几何与二项式定理,属于基础题.
12.已知函数f（x）＝ex﹣cosx，x∈R，下列判断正确的是（ ）
A．f（x）在（﹣2π，﹣π）单调递增
B．f（x）在（﹣π，0）有2个极值点
C．f（x）在（﹣2π，﹣）仅有1个极小值
D．当﹣4π≤x≤﹣2π时，f（x）≤1
【答案】BC
【解析】函数f（x）＝ex﹣cosx，则f′（x）＝ex+sinx，
对于A，当x∈（﹣2π，﹣π）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，故A正确；
对于B，函数f′（x）＝ex+sinx的零点，即为方程f′（x）＝0的根，
作出函数y＝﹣sinx与函数y＝ex的大致图象，如图所示：
由图象可知，当x∈（﹣π，0）时，函数y＝﹣sinx与函数y＝ex有两个交点，
则方程f′（x）＝0有两个实根，所以f（x）在（﹣π，0）有2个极值点，故B正确；
对于C，由图象可得，函数y＝﹣sinx与函数y＝ex在（﹣2π，﹣）上只有一个交点，
则方程f′（x）＝0只有一个实数根x0，且在（﹣2π，x0）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（x0，﹣）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝x0处取得极大值，故C错误；
对于D，当x＝﹣3π时，f（x）＝e﹣3π+1＞1，故D错误．
故选：AB．
【点睛】本题考查了导数的综合应用,属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.请写出满足条件“对任意的恒成立，且在上不是增函数”的一个函数：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】答案不唯一，如：，等．
【点睛】本题属于开放式试题,考查了函数的性质,属于基础题.
14.已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意可得，设，
则，
由，取得最大值1，则取得最大值2；
由，取得最小值，则取得最小值0；
故取值范围是， 故答案为：.
【点睛】本题考查了圆、平面向量数量积的坐标表示以及正弦函数的值域的求解，属于基础题.
15.如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线于AB两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M、N，记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，则________．
【答案】2
【解析】，，，，
则，
设直线的方程为，将其代入，
消去，整理得，
∴，同理可得，
有，
设直线的方程为，代入，
整理得，∴，
∴
故答案为：2
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,解答本题的关键是联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，得到，，.再利用这些条件去化简.对于直线和圆锥曲线的位置关系的问题，经常要联立直线和曲线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理去化简，这个技巧要理解并掌握,属于中档题.
16.如图，在平面四边形中，，，.将该平面图形沿线折成一个直二面角，三棱锥的体积为__________；三棱锥的外接球的体积为__________.
【答案】
【解析】因为平面平面，，则平面，从而.因为，则平面，从而，所以是外接球的直径.在中，，则球半径.所以外接球的体积，四面体的体积为. 故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积问题,考查了空间思维及想象能力,属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．
问题：在中，，，分别为角，，所对的边，，______．
（1）求角；
（2）求的最大值
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）选择①：由，得
即，所以，
因为，所以，故，所以．
选择②：由正弦定理，可化为，
由余弦定理，得，
因为，所以，
选择③：由正弦定理，得，
又．
由，得，
因为，所以，因为，所以．
（2）在中，由（1）及，，
故，，
所以
，
因为且为锐角，所以存在角使得，
所以的最大值为．
【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简以及利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值，属于基础题.
18.已知等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（2）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得①
②
①﹣②得，
可得．
【点睛】本题考查了等比数列基本量运算以及错位相减法求和，考查了数学运算能力，属于基础题.
19.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取200只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：
(1)根据频率分布直方图，估计200只小白鼠该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)若认为小白鼠的该项医学指标值服从正态分布，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的200只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有16只小白鼠又产生了抗体．这里近似为小白鼠医学指标平均值近似为样本方差经计算得，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率（精确到0.01)．
附：参考数据与公式
，若，则
①
②
③
【答案】（1）17.4；（(2)0.92
【解析】(1)
12
14
16
18
20
22
24
0.04
0.12
0.28
0.36
0.10
0.06
0.04
(2)
记事件表示首先注射疫苗后产生抗体，则
，
因此200只小鼠首先注射疫苗后有只产生抗体，有200-168=32只没有产生抗体.
故注射疫苗后产生抗体的概率
【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，利用概率公式求解具体问题，属于中档题.
20.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，BF＝3，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：平面BDGH//平面AEF
(2)求二面角H－BD－C的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)设AC∩BD＝O，连接OH．
因为四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝0，
所以O是AC的中点，
所以OH∥AF，
又AFÌ面AEF，AFË面AEF，
所以OH∥面AEF．
在△CEF中，G，H分别是CE和CF的中点，
所以GH∥EF，
又EFÌ面AEF，GHË面AEF，
所以GH∥面AEF．
又OH，GHÌ面BDGH，OH∩GH＝H，
所以平面BDGH∥平面AEF．
(2)取EF的中点Q，连接OQ．
在矩形BDEF中，O是BD的中点，Q是EF的中点，
所以OQ∥DE，且DE⊥BD，
故OQ⊥BD，
又面BDEF⊥面ABCD，OQÌ面BDEF，面BDEF∩面ABCD＝BD，
所以OQ⊥面ABCD，
又AC，BDÌ面ABCD，
所以OQ⊥AC，OQ⊥BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
以O为原点，OB，OC，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系O－xyz．
所以Q(0，0，3)，B(1，0，0)，F(1，0，3)，C(0，，0)，H(，，)，D(1，0，0)，
因为OQ⊥面ABCD，故平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，3)；
又＝(－2，0，0)，＝(－，，)，
设＝(x，y，z)是平面BDH的一个法向量，则
令z＝1，得＝(0，－，1)，所以平面BDH的一个法向量为＝(0，－，1)．
所以cos<，>＝＝，
设二面角H－BD－C的大小为θ，则|cosθ|＝|cos<，>|＝，
据图可知，θ∈(0，)，所以cosθ＝，θ＝，
所以二面角H－BD－C的大小为．
【点睛】本题考查了空间线面平行、面面平行的判定定理，最常见的求二面角的方法是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角，考查了学生的空间想象能力及计算能力,属于中档题.
21.已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，动直线l（l不垂直于坐标轴）交椭圆C1于M，N不同两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝﹣k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线过定点（4，0）.
（1）由题意知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，可得b＝，椭圆的离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2＝＝＝2，
且e1•e2＝1．所以e1＝＝＝＝，解得a＝2，
所以椭圆方程，
（2）假设该直线过定点且在x轴上，设直线l的方程y＝k（x﹣t），
联立消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
＝
＝
即，
所以﹣24+6t＝0，t＝4，即直线过定点（4，0）．
【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的位置关系以及直线过定点问题，属于中档题.
22.已知函数，.
（1）证明：当时，函数有唯一的极大值点；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）当时，，，
因为，所以，
令，，所以在区间上单调递减.
，，
所以，存在，使得，
且当时，；当时，.
所以函数的递增区间是，递减区间是.
所以函数存在唯一的极大值点；
（2）当时，令，则，
，
所以，函数在区间上单调递减，
因为，，
所以，存在，使得，即，
且当时，；当时，.
所以函数在区间上是递增函数，在区间上是递减函数.
，，
因为，只需证即可，
，
所以，函数在区间上是增函数，，即.
【点睛】本题考查了利用导数证明不等式问题，常见方法有：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数;属于稍难题.
决胜2021高考数学50天冲刺系列卷
冲刺系列卷(05)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以单调递减，由可得，
即，所以，，故选:B.
【点睛】本题考查了结合指数函数的单调性化简集合，从而可求出两集合的交集和并集,属于基础题.
2.已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】，
对应的点的坐标为，在第三象限，故选：C
【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题.
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【答案】C
【解析】由于是偶函数，故，，
由于在是增函数，所以，即b＜c＜a.故选:C
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性,考查了比较大小,属于基础题.
4.某人在同一群体中调查了人们对6杯饮品口感的看法，得到数据如表：
饮品
第1杯
第2杯
第3杯
第4杯
第5杯
第6杯
好评率
0.13
0.52
0.22
0.45
0.98
0.30
差评率
0.87
0.48
0.78
0.55
0.02
0.70
根据这些数据，可知这一群体意见分歧较大的两杯饮品是（ ）
A. 第1杯与第3杯 B. 第2杯与第4杯
C. 第1杯与第5杯 D. 第3杯与第5杯
【答案】B
【解析】第1杯饮品好评率与差评率的差值为，
第2杯饮品好评率与差评率的差值为，
第3杯饮品好评率与差评率的差值为，
第4杯饮品好评率与差评率的差值为，
第5杯饮品好评率与差评率的差值为，
第6杯饮品好评率与差评率的差值为，
其中较小的差值为第2杯与第4杯.故选:B.
【点睛】本题考查了统计，属于基础题.
5.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图知，函数是偶函数，且当时，函数的极大值点小于，
对于选项A，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故A正确；
对于选项B，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故B不正确；
对于选项C，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故C不正确；
对于选项D，当时，函数，所以，得，所以为函数的极大值点，故D不正确；故选：A
【点睛】本题考查了由图象判断函数的解析式，综合考查了函数的基本性质，导数研究函数的极值点，考查了逻辑推理的能力，考查了数形结合的思想,属于基础题.
6.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8×101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（ ）
A．101.35E B．1.35E C．100.9E D．90E
【答案】A
【解析】设玉树地震最大振幅为Amax，则汶川地震最大振幅为100.9Amax，
∴M玉树＝lg，M汶川＝lg＝0.9+lg＝0.9+M玉树，
∴E玉树＝104.8×，
∴E汶川＝104.8×＝104.8××101.5×0.9＝E玉树×101.35＝101.35E，故选：A．
【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：指数对数运算,属于基础题.
7.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.故选：B.
【点睛】本题考查了根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率,属于中档题.
8. 8.已知定义在上的函数满足,且当时,，若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,且当时, ,所以当时, ,则,当时, ,则在上单调递减.因为方程有三个不同的交点,作出函数的大致图象,如图所示.当直线和的图象相切时,结合图象,设切点为,由,可得,代入方程,可得;当直线过点时, ,由图可知实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的单调性、导数的几何意义、方程思想,属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心（，）
B．若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强
C．若相关指数R2的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高
【答案】ABD
【解析】对于A，回归方程必定经过样本中心（，），故选项A正确；
对于B，由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；
对于C，若相关指数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C错误；
对于D，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了回归分析,属于基础题.
10.已知函数f（x）＝﹣sin（2x+），g（x）＝cos（2x﹣），则（ ）
A．f（x）与g（x）的图象关于原点对称
B．g（x）在[0，]上的最大值为
C．f（x）的对称轴为x＝+kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到g（x）的图象
【答案】AD
【解析】∵函数f（x）＝﹣sin（2x+）＝sin（2x﹣），g（x）＝cos（2x﹣）＝sin（2x+），
∴g（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin（2x﹣），即f（x）＝﹣g（﹣x），故f（x）与g（x）的图象关于原点对，故A正确；
当x∈[0，]，2x+∈[，]，故当2x+＝时，g（x）取得最大值为1，故B错误；
当x＝+kπ，k∈Z时，f（x）＝sin（2kπ+）＝，不是最值，故C错误；
将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到g（x）＝sin（2x+）的图象，故D正确，
故选：AD．
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,属于基础题.
11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（ ）
A．f（x）的展开式中的常数项是56
B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0
C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70
D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位
【答案】BC
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，
则圆柱的体积，球的体积，可得m＝＝，
圆柱的表面积，
球的表面积为，则n＝，可得．
∴f（x）＝（x3）8＝（x3）8，
其二项展开式的通项为，
令24﹣4r＝0，得r＝6，常数项为，故A错误；
各项系数和为f（1）＝0，故B正确；
二项式系数的最大值为，故C正确；
f（i）＝，故D错误．
故选：BC．
【点睛】本题考查了以数学文化为背景,考查了立体几何与二项式定理,属于基础题.
12.已知函数f（x）＝ex﹣cosx，x∈R，下列判断正确的是（ ）
A．f（x）在（﹣2π，﹣π）单调递增
B．f（x）在（﹣π，0）有2个极值点
C．f（x）在（﹣2π，﹣）仅有1个极小值
D．当﹣4π≤x≤﹣2π时，f（x）≤1
【答案】BC
【解析】函数f（x）＝ex﹣cosx，则f′（x）＝ex+sinx，
对于A，当x∈（﹣2π，﹣π）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，故A正确；
对于B，函数f′（x）＝ex+sinx的零点，即为方程f′（x）＝0的根，
作出函数y＝﹣sinx与函数y＝ex的大致图象，如图所示：
由图象可知，当x∈（﹣π，0）时，函数y＝﹣sinx与函数y＝ex有两个交点，
则方程f′（x）＝0有两个实根，所以f（x）在（﹣π，0）有2个极值点，故B正确；
对于C，由图象可得，函数y＝﹣sinx与函数y＝ex在（﹣2π，﹣）上只有一个交点，
则方程f′（x）＝0只有一个实数根x0，且在（﹣2π，x0）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（x0，﹣）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝x0处取得极大值，故C错误；
对于D，当x＝﹣3π时，f（x）＝e﹣3π+1＞1，故D错误．
故选：AB．
【点睛】本题考查了导数的综合应用,属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.请写出满足条件“对任意的恒成立，且在上不是增函数”的一个函数：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】答案不唯一，如：，等．
【点睛】本题属于开放式试题,考查了函数的性质,属于基础题.
14.已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意可得，设，
则，
由，取得最大值1，则取得最大值2；
由，取得最小值，则取得最小值0；
故取值范围是， 故答案为：.
【点睛】本题考查了圆、平面向量数量积的坐标表示以及正弦函数的值域的求解，属于基础题.
15.如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线于AB两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M、N，记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，则________．
【答案】2
【解析】，，，，
则，
设直线的方程为，将其代入，
消去，整理得，
∴，同理可得，
有，
设直线的方程为，代入，
整理得，∴，
∴
故答案为：2
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,解答本题的关键是联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，得到，，.再利用这些条件去化简.对于直线和圆锥曲线的位置关系的问题，经常要联立直线和曲线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理去化简，这个技巧要理解并掌握,属于中档题.
16.如图，在平面四边形中，，，.将该平面图形沿线折成一个直二面角，三棱锥的体积为__________；三棱锥的外接球的体积为__________.
【答案】
【解析】因为平面平面，，则平面，从而.因为，则平面，从而，所以是外接球的直径.在中，，则球半径.所以外接球的体积，四面体的体积为. 故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积问题,考查了空间思维及想象能力,属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．
问题：在中，，，分别为角，，所对的边，，______．
（1）求角；
（2）求的最大值
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）选择①：由，得
即，所以，
因为，所以，故，所以．
选择②：由正弦定理，可化为，
由余弦定理，得，
因为，所以，
选择③：由正弦定理，得，
又．
由，得，
因为，所以，因为，所以．
（2）在中，由（1）及，，
故，，
所以
，
因为且为锐角，所以存在角使得，
所以的最大值为．
【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简以及利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值，属于基础题.
18.已知等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（2）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得①
②
①﹣②得，
可得．
【点睛】本题考查了等比数列基本量运算以及错位相减法求和，考查了数学运算能力，属于基础题.
19.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取200只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：
(1)根据频率分布直方图，估计200只小白鼠该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)若认为小白鼠的该项医学指标值服从正态分布，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的200只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有16只小白鼠又产生了抗体．这里近似为小白鼠医学指标平均值近似为样本方差经计算得，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率（精确到0.01)．
附：参考数据与公式
，若，则
①
②
③
【答案】（1）17.4；（(2)0.92
【解析】(1)
12
14
16
18
20
22
24
0.04
0.12
0.28
0.36
0.10
0.06
0.04
(2)
记事件表示首先注射疫苗后产生抗体，则
，
因此200只小鼠首先注射疫苗后有只产生抗体，有200-168=32只没有产生抗体.
故注射疫苗后产生抗体的概率
【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，利用概率公式求解具体问题，属于中档题.
20.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，BF＝3，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：平面BDGH//平面AEF
(2)求二面角H－BD－C的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)设AC∩BD＝O，连接OH．
因为四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝0，
所以O是AC的中点，
所以OH∥AF，
又AFÌ面AEF，AFË面AEF，
所以OH∥面AEF．
在△CEF中，G，H分别是CE和CF的中点，
所以GH∥EF，
又EFÌ面AEF，GHË面AEF，
所以GH∥面AEF．
又OH，GHÌ面BDGH，OH∩GH＝H，
所以平面BDGH∥平面AEF．
(2)取EF的中点Q，连接OQ．
在矩形BDEF中，O是BD的中点，Q是EF的中点，
所以OQ∥DE，且DE⊥BD，
故OQ⊥BD，
又面BDEF⊥面ABCD，OQÌ面BDEF，面BDEF∩面ABCD＝BD，
所以OQ⊥面ABCD，
又AC，BDÌ面ABCD，
所以OQ⊥AC，OQ⊥BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
以O为原点，OB，OC，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系O－xyz．
所以Q(0，0，3)，B(1，0，0)，F(1，0，3)，C(0，，0)，H(，，)，D(1，0，0)，
因为OQ⊥面ABCD，故平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，3)；
又＝(－2，0，0)，＝(－，，)，
设＝(x，y，z)是平面BDH的一个法向量，则
令z＝1，得＝(0，－，1)，所以平面BDH的一个法向量为＝(0，－，1)．
所以cos<，>＝＝，
设二面角H－BD－C的大小为θ，则|cosθ|＝|cos<，>|＝，
据图可知，θ∈(0，)，所以cosθ＝，θ＝，
所以二面角H－BD－C的大小为．
【点睛】本题考查了空间线面平行、面面平行的判定定理，最常见的求二面角的方法是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角，考查了学生的空间想象能力及计算能力,属于中档题.
21.已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1•e2＝1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，动直线l（l不垂直于坐标轴）交椭圆C1于M，N不同两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝﹣k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线过定点（4，0）.
（1）由题意知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其短轴长为2，可得b＝，椭圆的离心率为e1，双曲线C2：＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为y＝±x，离心率为e2＝＝＝2，
且e1•e2＝1．所以e1＝＝＝＝，解得a＝2，
所以椭圆方程，
（2）假设该直线过定点且在x轴上，设直线l的方程y＝k（x﹣t），
联立消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
＝
＝
即，
所以﹣24+6t＝0，t＝4，即直线过定点（4，0）．
【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的位置关系以及直线过定点问题，属于中档题.
22.已知函数，.
（1）证明：当时，函数有唯一的极大值点；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）当时，，，
因为，所以，
令，，所以在区间上单调递减.
，，
所以，存在，使得，
且当时，；当时，.
所以函数的递增区间是，递减区间是.
所以函数存在唯一的极大值点；
（2）当时，令，则，
，
所以，函数在区间上单调递减，
因为，，
所以，存在，使得，即，
且当时，；当时，.
所以函数在区间上是递增函数，在区间上是递减函数.
，，
因为，只需证即可，
，
所以，函数在区间上是增函数，，即.
【点睛】本题考查了利用导数证明不等式问题，常见方法有：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数;属于稍难题.
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