冲刺模拟卷06-决胜2021届高三高考数学备考优生50天冲刺系列（江苏等八省市新高考地区专用）（原卷 解析）

决胜2021高考数学50天冲刺系列卷

冲刺系列卷(06)

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】集合，

集合，故选：C

【点睛】本题考查了对数型函数的定义域、指数函数的值域以及集合的交集运算,考查了运算能力,属于基础题.

2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】因为，

所以，

对应点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限,故选：C.

【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题．

3.的展开式中的系数为（    ）

A． B． C．64 D．-128

【答案】D

【解析】展开式的通项公式为，

令，则，

所以的展开式中的系数为.故选：D

【点睛】本题考查了根据二项式定理展开式的通项求特定项的系数,属于基础题.

4.函数f(x)在[－π，π]上的图象大致如下，则下列函数中哪个函数符合函数f(x)图象特征（    ）

A．       B．

C．         D．

【答案】B

【解析】由题意可知，f(x)为奇函数，则排除选项A、D；又因为f(π)≠0，则排除选项C，故选:B.

【点睛】本题考查了函数图象的识别与判断,已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限,属于基础题.

5.消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命，中共中央、国务院于2015年11月29日颁布了《中共中央国务院关于打赢脱贫攻坚战的决定》．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A，B，C，D，E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（　　）

A．360种 B．336种 C．216种 D．120种

【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将6名教师分为5组，要求乙与丙不在同一组，有C62﹣1＝14种分组方法，

②将甲所在的组分到A山区，剩下的4组安排到其他4个山区，有A44＝24种情况，

则有14×24＝336种安排方法，故选：B．

【点睛】本题考查了排列与组合，属于基础题.

6.数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】由图可知，，，

在中，，显然，

即,故选：B

【点睛】本题考查了不等式新文化试题，关键是表示和，属于基础题.

7.已知点O为△ABC的外心，AB的边长为2，则＝（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】解：∵点O为△ABC的外心，AB的边长为2，如图：

设AB的中点为D，连接OD，则OD⊥AB，

∴＝（）•＝＝+0＝×22＝2，故选：C．

【点睛】本题考查了平面向量数量积，属于中档题.

8.已知函数，点，，是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且.若对，以、、的值为边长可以构成一个三角形，那么实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】函数，由，解得，

∴，∴.∴，

当时，，

∴，∴，

由题意可得对任意的恒成立，

∴，

∵，，

∴，解得.

【点睛】本题考查了三角函数图形与性质,考查了转换与化归思想,属于中档题

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（    ）

参考数据：若，则，，．

A. 年级平均成绩为分

B. 成绩在分以上（含分）人数和分以下（含分）人数相等

C. 成绩不超过分的人数少于人

D. 超过分的人数为人

【答案】ABD

【解析】对于选项A，，，，

由正态分布概念知：年级平均成绩，故A正确；

对于选项B，，成绩在分以上（含分）人数和分以下（含分）人数相等，故B正确；

对于选项C，，，

，成绩不超过分的人数多于人，故C错误；

对于选项D，，

，

，超过分的人数为人，故D正确.故选：ABD.

【点睛】本题考查了正态分布，属于基础题.

10.已知，是不同直线，，是不同平面，且，，则下列四个命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BD

【解析】对于选项A,若，则或相交，此时平行于的交线,故A错误；

对于选项B,若，，则，且，根据线面平行性质定理可知，存在，使，

所以，又，则，故B正确；

对于选项C, 若，则，或相交，异面，故C错误；

对于选项D,若，，则，又，则，故D正确,故选：BD

【点睛】本题考查了线线，线面，面面的位置关系，以及判断定理和性质定理,考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题.

11.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【解析】对于选项A,易知点的坐标为，选项A错误；

对于选项B,根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；

对于选项C,若，则过点，则的最小值即抛物线通经的长，为，即，选项C正确，

对于选项D,抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别做准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，.

所以，所以线段

所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．  故选：BCD．

【点睛】本题考查了抛物线的定义与标准方程以及抛物线的焦点弦性质，考查了抛物线，是抛物线的过焦点的弦，，则，，，最小时，是抛物线的通径,属于中档题．

12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是（　　）

A．该截角四面体的表面积为7a2 

B．该截角四面体的体积为a3 

C．该截角四面体的外接球表面积为πa2 

D．该截角四面体中，二面角A﹣BC﹣D的余弦值为

【答案】ABD

【解析】题中截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，

故，故选项A正确；

因为棱长为a的正四面体的高，

所以＝，故选项B正确‘

因为截角四面体上下底面距离为，

所以，

所以，

即，

所以，

故，故选项C正确；

二面角A﹣BC﹣D的余弦值应该为负值，故选项D错误．故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.写出一个满足前5项的和为10，且递减的等差数列的通项___________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】依题意数列是递减的等差数列，所以，又，所以，不妨取等差，所以

所以,故答案为：

【点睛】本题属于开放性试题,考查了等差数列,属于基础题.

14.已知展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为__________．

【答案】17

【解析】令可得：，解得，

所以二项式为的展开式的常数项为：

，  故答案为：17

【点睛】本题考查了利用二项式定理求指定项，属于基础题.

15.已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（，0），点N的坐标为（0，2），点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为_____．

【答案】

【解析】设双曲线的左焦点为，则|MF|﹣＝2a，即，

故，当且仅当N，M，三点共线时等号成立．由可得，

故△MNF的周长|MN|+|MF|+|NF|≥+|NF|＝14+2a，

依题意，△MNF周长的最小值14+2a≥20，解得a≥3，

所以双曲线的离心率e＝ ，又e＞1，

可得1＜e≤，故双曲线的离心率的范围是, 故答案为：．

【点睛】本题考查了利用双曲线定义求得线段和的最小值，根据周长的最小值大于等于20，即解得a的范围，即得离心率的取值范围,属于中档题.

16.若关于x的方程有解，则正数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】【解析】因为，即有解，

由，当且仅当时，可知，在区间内有解，

所以在区间内有解，即在区间内有解，所以.

【点睛】本题考查了方程有解性问题，注意分离参数的运用,考查了数学运算求解能力，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知公比q大于1的等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2＝4．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝______，求数列{bn}的前n项和Sn．

请在①n•an；②|2log2an﹣9|；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

【答案】（1）an＝2n；（2）答案见解析.

【解析】（1）由题设可得：，解得：或（舍），

∴an＝2n；

（2）当选条件①时：

由（1）可得：bn＝n•2n，

则Sn＝1×21+2×22+…+n•2n，

又2Sn＝1×22+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，

两式相减得：﹣Sn＝2+22+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，

整理得：Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．

当选条件②时：

由（1）可得：bn＝|2log2an﹣9|＝|2n﹣9|，

当n≤4时，Sn＝7+5+…+9﹣2n＝＝n（8﹣n）；

当n≥5时，Sn＝7+5+3+1+1+3+…+2n﹣9＝16+＝n2﹣8n+32，

∴Sn＝．

当选条件③时：

由（1）可得：bn＝＝＝2，

∴Sn＝2（+

+…+）＝2（）＝1﹣．

【点睛】本题考查了数列求和,数列求和关键要根据数列的通项公式，选择恰当的方法，常见求和方法有裂项相消法，错位相减法，公式法，分组求和法,属于基础题.

18.请从下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解决该问题

①△ABC的面积为;          ②

在中,角所对的边分别为已知，为钝角，

                          .

 (1)求边的长；          (2)求的值.

【答案】(1)8;  (2)

【解析】（1）若选择条件①△ABC的面积为，

，

由，可得

而A为钝角，，所以

（2）

（1）若选②A为钝角，，所以

由，可得

而A为钝角，，所以

（2）

【点睛】本题考查了三角恒等变换、同角三角函数关系、余弦定理以及向量数量积公式，考查了数学运算能力,属于基础题.

19.如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, .

（1）证明:平面平面;

（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.

在中，分别为的中点，所以，且.

于是在中， ，

所以为直角三角形，且.

因为，,所以.

因为，，，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，,

,,.

设平面的一个法向量为,

则即，取,得.

设平面的法向量,

则即，取,得.

所以，

又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题,属于基础题.

20.2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第-部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习《中华人民共和国民法典》知识竞赛，从中随机抽取名学生的成绩(单位：分)统计得到如下表格：

规定成绩在内的学生获优秀奖.

（1）根据以上成绩统计，判断是否有的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？

（2）在抽取的名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取人进行座谈，记为抽到获优秀奖的女生人数，求的分布列和数学期望.

附：

【答案】（1）有的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【解析】（1）依题意得，列联表如下：

假设：“该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关”.

当成立时，.

将列联表中的数据代入公式，计算得

因为.所以小概率事件未发生.从而接受假设.

所以在犯错误的概率不超过的前提下可以推断该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关，即有的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关.

（2）依题意得，的所有可能取值为

，

.

所以的分布列为

的数学期望为.

【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列及其数学期望以及事件概率,其中离散型随机变量的分布列及其数学期望解题步骤如下：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.属于中档题

21.如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试探讨点的纵坐标是否为定值，若是求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）定值，且为3.

【解析】（1）由题意可得，解得，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为，设点、，

联立，消去并整理得，

，

由韦达定理得，.

易知点、，

直线的斜率为，直线的方程为，

直线的斜率为，直线的方程为，

由，可得，

其中，

，解得.

因此，点的纵坐标为定值3.

【点睛】本题主要考查了解析几何的定点，定值问题,常见的解决步骤：

（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

（2）韦达定理列出两根和及两根积；

（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.  属于中档题.

22.曲线的曲率定义如下：若是的导函数，令，则曲线在点处的曲率．已知函数，，且在点处的曲率．

（1）求的值，并证明：当时，；

（2）若，且，求证：．

【答案】（1）2，证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1），，，，

在点，处的曲率，

，解得．

当时，，

，

令，则，

在时单调递增，，，函数在上单调递增，，因此．

（2）证明：由（1）可得：，

，，

令，则：，

要证明：，

只要证明：即可，

时，左边

时，令，

，

，

（2），

在上单调递减，

（2），

综上可得：成立．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，解决本题的关键点是由（1）可得：，将要证明的不等式转化为证明，考查了学生推理能力与计算能力，属于稍难题．