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2020-2021学年人教版（广东省）七年级下册期中考试模拟卷（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年人教版（广东省）七年级下册期中考试模拟卷（word版 含答案），共17页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点，下列计算正确的是，估计的值，解为的方程组是，下列四个命题，《九章算术》中记载等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年人教版（广东省）七年级下册期中考试模拟卷
满分120分 时间90分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在实数﹣，，0，，﹣π，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．估计的值（ ）
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
6．解为的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．点（﹣1，3）向右平移3个单位后的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣1，6） C．（2，3） D．（﹣1，0）
8．如图，点E在AC的延长线上，若BD∥AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
9．下列四个命题：①同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c； ②经过点A（﹣1，2）与点B（2，2）的直线平行于x轴； ③无理数是无限小数； ④数a的算术平方根是．其中是真命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
10．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．化简：||＝ ．
12．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．
13．一个正数的两个平方根分别为a+3和2a+3，则a＝ ．
14．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 象限．
15．已知线段AB的长度为3，且AB平行于y轴，A点坐标为（3，2），则B点坐标为 ．
16．如图，AB∥CD，∠B＝140°，FE⊥CD于E，则∠FEB＝ ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M（0，5），顶点C（6，﹣3），将一条长为2020个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：+﹣
19．（6分）解方程组．
20．（6分）完成下面推理过程．
如图，E是AB上一点，F是CD上一点，G是BC延长线上一点，AB∥DC，∠B＝∠D，∠D+∠DFE＝180°．求证：AD∥EF∥BC．
证明：∵AB∥DC
∴∠B＝ （ ）
∵∠D＝∠B
∴∠D＝∠DCG
∴AD∥BC （ ）
∵∠D+∠DFE＝180°
∴ （ ）
∴EF∥BC（ ）
即AD∥EF∥BC．
21．（8分）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
22．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将三角形ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得三角形A′B′C′．
（1）直接写出三角形ABC的顶点的坐标分别是A ，B ，C ；
（2）画出三角形A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
23．（8分）在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“元旦”节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1700元，该店的商品按原价的几折销售？
24．（10分）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，
①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．
②请说明理由．
25．（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且（a﹣4）2+＝0．
（1）的值；
（2）点C在x轴上，三角形OBC的面积是三角形OAB面积的一半，求点C的坐标；
（3）如图2，点C（﹣2，0）在x轴负半轴，CD∥AB，交y轴于点D，求点D的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B． C．D．
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．
【解答】解：图形中从左向右A，B，D个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有C个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．
故选：C．
2．在实数﹣，，0，，﹣π，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义分别化简，再利用无理数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵﹣，，0，＝2，﹣π，＝8，
∴无理数的个数是：，﹣π，共2个．
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（3，﹣2）所在象限是第四象限．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别利用平方根、立方根、算术平方根的性质计算即可得出答案．
【解答】解：A、﹣＝﹣3，故此选项正确；
B、＝﹣，故此选项错误；
C、＝5，故此选项错误；
D、＝3，故此选项错误．
故选：A．
5．估计的值（ ）
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴在5到6之间．
故选：C．
6．解为的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．
将分别代入A、B、C、D四个选项进行检验，或直接解方程组．
【解答】解：将分别代入A、B、C、D四个选项进行检验，
能使每个方程的左右两边相等的x、y的值即是方程的解．
A、B、C均不符合，
只有D满足．
故选：D．
7．点（﹣1，3）向右平移3个单位后的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣1，6） C．（2，3） D．（﹣1，0）
【分析】移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：根据平移的规律可知：点A（﹣1，3）向右平移3个单位，得到的点的坐标为（2，3）．
故选：C．
8．如图，点E在AC的延长线上，若BD∥AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】分别根据两直线平行内错角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补求解可得．
【解答】解：∵BD∥AE（已知），
∴∠3＝∠4（两直线平行内错角相等），故A正确，此选项不符合题意；
∠D＝∠DCE（两直线平行内错角相等），故C正确，此选项不符合题意；
∠D+∠ACD＝180°（两直线平行同旁内角互补），故D正确，此选项不符合题意；
∠1＝∠2只能由AB∥CD得到，故B不正确，此选项符合题意；
故选：B．
9．下列四个命题：①同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c； ②经过点A（﹣1，2）与点B（2，2）的直线平行于x轴； ③无理数是无限小数； ④数a的算术平方根是．其中是真命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【分析】根据平行线的性质、平面直角坐标系、无理数的概念、算术平方根的概念判断．
【解答】解：①同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，本说法是真命题；
②∵点A与点B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∴经过点A（﹣1，2）与点B（2，2）的直线平行于x轴，是真命题；
③无理数是无限小数，本说法是真命题；
④非负数a的算术平方根是，本说法是假命题；
故选：C．
10．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x个人，这个物品价格是y元，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x个人，这个物品价格是y元，则．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．化简：||＝ ．
【分析】要先判断出＜0，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：∵＜0
∴||＝2﹣．
故答案为：2﹣．
12．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
13．一个正数的两个平方根分别为a+3和2a+3，则a＝ ﹣2 ．
【分析】由“一个正数的两个平方根互为相反数”得到a+3+2a+3＝0，据此可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，得
a+3+2a+3＝0，即3a＝﹣6，
解得，a＝﹣2．
故答案是：﹣2．
14．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 三 象限．
【分析】先求出xy的值，再根据各项限内点的坐标特点即可得出结论．
【解答】解：∵，①+②得，2y＝﹣2，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得，﹣1＝2x+1，解得x＝﹣1，
∴点（x，y）的坐标为（﹣1，﹣1），
∴此点在第三象限．
故答案为：三．
15．已知线段AB的长度为3，且AB平行于y轴，A点坐标为（3，2），则B点坐标为 （3，﹣1）或（3，5） ．
【分析】由AB∥y轴可得A，B两点的横坐标相同，结合AB＝3，A（3，2），分B点在A点之上和之下两种情况可求解B点的纵坐标，进而可求解．
【解答】解：∵AB∥y轴，
∴A，B两点的横坐标相同，
∵A（3，2），
∴B点横坐标为3，
∵AB＝3，
∴当B点在A点之上时，B点纵坐标为2+3＝5，
∴B（3，5）；
∴当B点在A点之下时，B点纵坐标为2﹣3＝﹣1，
∴B（3，﹣1）．
综上B点坐标为（3，﹣1）或（3，5）．
故答案为（3，﹣1）或（3，5）．
16．如图，AB∥CD，∠B＝140°，FE⊥CD于E，则∠FEB＝ 50° ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEC，再根据垂直的定义求出∠CEF＝90°，然后根据∠FEB＝∠CEF﹣∠BEC代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝140°，
∴∠BEC＝180°﹣∠B＝180°﹣140°＝40°，
∵FE⊥CD，
∴∠CEF＝90°，
∴∠FEB＝∠CEF﹣∠BEC＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M（0，5），顶点C（6，﹣3），将一条长为2020个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为 （﹣2，3）或（4，5） ．
【分析】根据题意求出各点的坐标和正方形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为8，
∴CD＝DA＝BC＝AB＝8，
∵M（0，5），C（6，﹣3），
∴A（﹣2，5），B（6，5），D（﹣2，﹣3），
∴AM＝2，BM＝6，
∴绕正方形ABCD一周的细线长度为8×4＝32，
∵2020÷32＝63…4，
∴细线另一端在绕正方形第63圈的第4个单位长度的位置，
即在AB边或在AD边上，
∴点N的坐标为（﹣2，3）或（4，5）．
故答案为：（﹣2，3）或（4，5）．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：+﹣
【分析】根据立方根、算术平方根化简，计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2+4
＝．
19．（6分）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3y＝15，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：x＝，
则方程组的解为．
20．（6分）完成下面推理过程．
如图，E是AB上一点，F是CD上一点，G是BC延长线上一点，AB∥DC，∠B＝∠D，∠D+∠DFE＝180°．求证：AD∥EF∥BC．
证明：∵AB∥DC
∴∠B＝ ∠DCG （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠D＝∠B
∴∠D＝∠DCG
∴AD∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∵∠D+∠DFE＝180°
∴ AD∥EF （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴EF∥BC（ 平行于同一直线的两直线平行 ）
即AD∥EF∥BC．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DCG，求出∠D＝∠DCG，根据平行线的判定得出AD∥BC，AD∥EF，再推出EF∥BC即可．
【解答】证明：∵AB∥DC
∴∠B＝∠DCG（两直线平行，同位角相等），
∵∠D＝∠B，
∴∠D＝∠DCG，
∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行），
∵∠D+∠DFE＝180°
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴EF∥BC（平行于同一直线的两直线平行），
即AD∥EF∥BC，
故答案为：∠DCG，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行，AD∥EF，同旁内角互补，两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．
21．（8分）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求出解即可．
【解答】解：（1）把代入②得：7+2n＝13，
解得：n＝3，
把代入①得：3m﹣7＝5，
解得：m＝4；
把m＝4，n＝3代入方程组得：，
①×3+②得：14x＝28，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
则方程组的解为．
22．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将三角形ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得三角形A′B′C′．
（1）直接写出三角形ABC的顶点的坐标分别是A （﹣1，﹣1） ，B （﹣3，﹣3） ，C （0，﹣4） ；
（2）画出三角形A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）直接根据图形可得三个顶点的坐标；
（2）作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（﹣3，﹣3），C（0，﹣4），
故答案为：（﹣1，﹣1），（﹣3，﹣3），（0，﹣4）．
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，
由图知A'（1，3），B'（﹣1，1），C（2，0）
（3）三角形ABC的面积为3×3﹣2××3﹣×2×2＝4．
23．（8分）在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“元旦”节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1700元，该店的商品按原价的几折销售？
【分析】（1）设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元，根据“购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该店的商品按原价的m折销售，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元．
（2）设该店的商品按原价的m折销售，
依题意，得：16××100+4××100＝1700，
解得：m＝8.5．
答：该店的商品按原价的八五折销售．
24．（10分）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，
①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．
②请说明理由．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【解答】解：
（1）过点E作EF∥AB；
∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；
（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，
说理如下：过点E作EF∥AB
∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠CEA+∠AEF＝∠2
∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）
∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），
即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°
25．（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且（a﹣4）2+＝0．
（1）的值；
（2）点C在x轴上，三角形OBC的面积是三角形OAB面积的一半，求点C的坐标；
（3）如图2，点C（﹣2，0）在x轴负半轴，CD∥AB，交y轴于点D，求点D的坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题．
（2）设C（m，0）．根据S△OBC＝S△AOB＝2构建方程求出m即可解决问题．
（3）如图2中，连接BC，AD，由CD∥AB，推出S△ABC＝S△ABD，由此构建方程求出OD即可解决问题．
【解答】解：（1）∵（a﹣4）2≥0，≥0，且（a﹣4）2+＝0，
∴a＝4，b＝2，
∴＝3．
（2）设C（m，0）．
由题意A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∵S△OBC＝S△AOB＝2，
∴•|m|•2＝2，
∴m＝±2，
∴C（2，0）或（﹣2，0）．
（3）如图2中，连接BC，AD，
∴CD∥AB，
∴S△ABC＝S△ABD，
∴（2+4）×2＝（2+OD）×4，
∴OD＝1，
∴D（0，﹣1）．
2020-2021学年人教版（广东省）七年级下册期中考试模拟卷
满分120分 时间90分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在实数﹣，，0，，﹣π，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．估计的值（ ）
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
6．解为的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．点（﹣1，3）向右平移3个单位后的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣1，6） C．（2，3） D．（﹣1，0）
8．如图，点E在AC的延长线上，若BD∥AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
9．下列四个命题：①同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c； ②经过点A（﹣1，2）与点B（2，2）的直线平行于x轴； ③无理数是无限小数； ④数a的算术平方根是．其中是真命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
10．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．化简：||＝ ．
12．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．
13．一个正数的两个平方根分别为a+3和2a+3，则a＝ ．
14．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 象限．
15．已知线段AB的长度为3，且AB平行于y轴，A点坐标为（3，2），则B点坐标为 ．
16．如图，AB∥CD，∠B＝140°，FE⊥CD于E，则∠FEB＝ ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M（0，5），顶点C（6，﹣3），将一条长为2020个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：+﹣
19．（6分）解方程组．
20．（6分）完成下面推理过程．
如图，E是AB上一点，F是CD上一点，G是BC延长线上一点，AB∥DC，∠B＝∠D，∠D+∠DFE＝180°．求证：AD∥EF∥BC．
证明：∵AB∥DC
∴∠B＝ （ ）
∵∠D＝∠B
∴∠D＝∠DCG
∴AD∥BC （ ）
∵∠D+∠DFE＝180°
∴ （ ）
∴EF∥BC（ ）
即AD∥EF∥BC．
21．（8分）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
22．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将三角形ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得三角形A′B′C′．
（1）直接写出三角形ABC的顶点的坐标分别是A ，B ，C ；
（2）画出三角形A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
23．（8分）在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“元旦”节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1700元，该店的商品按原价的几折销售？
24．（10分）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，
①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．
②请说明理由．
25．（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且（a﹣4）2+＝0．
（1）的值；
（2）点C在x轴上，三角形OBC的面积是三角形OAB面积的一半，求点C的坐标；
（3）如图2，点C（﹣2，0）在x轴负半轴，CD∥AB，交y轴于点D，求点D的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B． C．D．
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．
【解答】解：图形中从左向右A，B，D个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有C个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．
故选：C．
2．在实数﹣，，0，，﹣π，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义分别化简，再利用无理数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵﹣，，0，＝2，﹣π，＝8，
∴无理数的个数是：，﹣π，共2个．
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（3，﹣2）所在象限是第四象限．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别利用平方根、立方根、算术平方根的性质计算即可得出答案．
【解答】解：A、﹣＝﹣3，故此选项正确；
B、＝﹣，故此选项错误；
C、＝5，故此选项错误；
D、＝3，故此选项错误．
故选：A．
5．估计的值（ ）
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴在5到6之间．
故选：C．
6．解为的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．
将分别代入A、B、C、D四个选项进行检验，或直接解方程组．
【解答】解：将分别代入A、B、C、D四个选项进行检验，
能使每个方程的左右两边相等的x、y的值即是方程的解．
A、B、C均不符合，
只有D满足．
故选：D．
7．点（﹣1，3）向右平移3个单位后的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣1，6） C．（2，3） D．（﹣1，0）
【分析】移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：根据平移的规律可知：点A（﹣1，3）向右平移3个单位，得到的点的坐标为（2，3）．
故选：C．
8．如图，点E在AC的延长线上，若BD∥AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】分别根据两直线平行内错角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补求解可得．
【解答】解：∵BD∥AE（已知），
∴∠3＝∠4（两直线平行内错角相等），故A正确，此选项不符合题意；
∠D＝∠DCE（两直线平行内错角相等），故C正确，此选项不符合题意；
∠D+∠ACD＝180°（两直线平行同旁内角互补），故D正确，此选项不符合题意；
∠1＝∠2只能由AB∥CD得到，故B不正确，此选项符合题意；
故选：B．
9．下列四个命题：①同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c； ②经过点A（﹣1，2）与点B（2，2）的直线平行于x轴； ③无理数是无限小数； ④数a的算术平方根是．其中是真命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【分析】根据平行线的性质、平面直角坐标系、无理数的概念、算术平方根的概念判断．
【解答】解：①同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，本说法是真命题；
②∵点A与点B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∴经过点A（﹣1，2）与点B（2，2）的直线平行于x轴，是真命题；
③无理数是无限小数，本说法是真命题；
④非负数a的算术平方根是，本说法是假命题；
故选：C．
10．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x个人，这个物品价格是y元，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x个人，这个物品价格是y元，则．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．化简：||＝ ．
【分析】要先判断出＜0，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：∵＜0
∴||＝2﹣．
故答案为：2﹣．
12．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
13．一个正数的两个平方根分别为a+3和2a+3，则a＝ ﹣2 ．
【分析】由“一个正数的两个平方根互为相反数”得到a+3+2a+3＝0，据此可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，得
a+3+2a+3＝0，即3a＝﹣6，
解得，a＝﹣2．
故答案是：﹣2．
14．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 三 象限．
【分析】先求出xy的值，再根据各项限内点的坐标特点即可得出结论．
【解答】解：∵，①+②得，2y＝﹣2，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得，﹣1＝2x+1，解得x＝﹣1，
∴点（x，y）的坐标为（﹣1，﹣1），
∴此点在第三象限．
故答案为：三．
15．已知线段AB的长度为3，且AB平行于y轴，A点坐标为（3，2），则B点坐标为 （3，﹣1）或（3，5） ．
【分析】由AB∥y轴可得A，B两点的横坐标相同，结合AB＝3，A（3，2），分B点在A点之上和之下两种情况可求解B点的纵坐标，进而可求解．
【解答】解：∵AB∥y轴，
∴A，B两点的横坐标相同，
∵A（3，2），
∴B点横坐标为3，
∵AB＝3，
∴当B点在A点之上时，B点纵坐标为2+3＝5，
∴B（3，5）；
∴当B点在A点之下时，B点纵坐标为2﹣3＝﹣1，
∴B（3，﹣1）．
综上B点坐标为（3，﹣1）或（3，5）．
故答案为（3，﹣1）或（3，5）．
16．如图，AB∥CD，∠B＝140°，FE⊥CD于E，则∠FEB＝ 50° ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEC，再根据垂直的定义求出∠CEF＝90°，然后根据∠FEB＝∠CEF﹣∠BEC代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝140°，
∴∠BEC＝180°﹣∠B＝180°﹣140°＝40°，
∵FE⊥CD，
∴∠CEF＝90°，
∴∠FEB＝∠CEF﹣∠BEC＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M（0，5），顶点C（6，﹣3），将一条长为2020个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为 （﹣2，3）或（4，5） ．
【分析】根据题意求出各点的坐标和正方形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为8，
∴CD＝DA＝BC＝AB＝8，
∵M（0，5），C（6，﹣3），
∴A（﹣2，5），B（6，5），D（﹣2，﹣3），
∴AM＝2，BM＝6，
∴绕正方形ABCD一周的细线长度为8×4＝32，
∵2020÷32＝63…4，
∴细线另一端在绕正方形第63圈的第4个单位长度的位置，
即在AB边或在AD边上，
∴点N的坐标为（﹣2，3）或（4，5）．
故答案为：（﹣2，3）或（4，5）．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：+﹣
【分析】根据立方根、算术平方根化简，计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2+4
＝．
19．（6分）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3y＝15，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：x＝，
则方程组的解为．
20．（6分）完成下面推理过程．
如图，E是AB上一点，F是CD上一点，G是BC延长线上一点，AB∥DC，∠B＝∠D，∠D+∠DFE＝180°．求证：AD∥EF∥BC．
证明：∵AB∥DC
∴∠B＝ ∠DCG （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠D＝∠B
∴∠D＝∠DCG
∴AD∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∵∠D+∠DFE＝180°
∴ AD∥EF （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴EF∥BC（ 平行于同一直线的两直线平行 ）
即AD∥EF∥BC．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DCG，求出∠D＝∠DCG，根据平行线的判定得出AD∥BC，AD∥EF，再推出EF∥BC即可．
【解答】证明：∵AB∥DC
∴∠B＝∠DCG（两直线平行，同位角相等），
∵∠D＝∠B，
∴∠D＝∠DCG，
∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行），
∵∠D+∠DFE＝180°
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴EF∥BC（平行于同一直线的两直线平行），
即AD∥EF∥BC，
故答案为：∠DCG，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行，AD∥EF，同旁内角互补，两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．
21．（8分）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求出解即可．
【解答】解：（1）把代入②得：7+2n＝13，
解得：n＝3，
把代入①得：3m﹣7＝5，
解得：m＝4；
把m＝4，n＝3代入方程组得：，
①×3+②得：14x＝28，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
则方程组的解为．
22．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将三角形ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得三角形A′B′C′．
（1）直接写出三角形ABC的顶点的坐标分别是A （﹣1，﹣1） ，B （﹣3，﹣3） ，C （0，﹣4） ；
（2）画出三角形A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）直接根据图形可得三个顶点的坐标；
（2）作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（﹣3，﹣3），C（0，﹣4），
故答案为：（﹣1，﹣1），（﹣3，﹣3），（0，﹣4）．
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，
由图知A'（1，3），B'（﹣1，1），C（2，0）
（3）三角形ABC的面积为3×3﹣2××3﹣×2×2＝4．
23．（8分）在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“元旦”节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1700元，该店的商品按原价的几折销售？
【分析】（1）设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元，根据“购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该店的商品按原价的m折销售，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元．
（2）设该店的商品按原价的m折销售，
依题意，得：16××100+4××100＝1700，
解得：m＝8.5．
答：该店的商品按原价的八五折销售．
24．（10分）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，
①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．
②请说明理由．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【解答】解：
（1）过点E作EF∥AB；
∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；
（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，
说理如下：过点E作EF∥AB
∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠CEA+∠AEF＝∠2
∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）
∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），
即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°
25．（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且（a﹣4）2+＝0．
（1）的值；
（2）点C在x轴上，三角形OBC的面积是三角形OAB面积的一半，求点C的坐标；
（3）如图2，点C（﹣2，0）在x轴负半轴，CD∥AB，交y轴于点D，求点D的坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题．
（2）设C（m，0）．根据S△OBC＝S△AOB＝2构建方程求出m即可解决问题．
（3）如图2中，连接BC，AD，由CD∥AB，推出S△ABC＝S△ABD，由此构建方程求出OD即可解决问题．
【解答】解：（1）∵（a﹣4）2≥0，≥0，且（a﹣4）2+＝0，
∴a＝4，b＝2，
∴＝3．
（2）设C（m，0）．
由题意A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∵S△OBC＝S△AOB＝2，
∴•|m|•2＝2，
∴m＝±2，
∴C（2，0）或（﹣2，0）．
（3）如图2中，连接BC，AD，
∴CD∥AB，
∴S△ABC＝S△ABD，
∴（2+4）×2＝（2+OD）×4，
∴OD＝1，
∴D（0，﹣1）．
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