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    北师版高中数学(教案)必修一第5讲:函数的单调性(教师版)
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    北师大版必修13函数的单调性教案

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    这是一份北师大版必修13函数的单调性教案,共11页。教案主要包含了函数单调性的定义,用定义证明函数的单调性,复合函数单调性的判断等内容,欢迎下载使用。


    __________________________________________________________________________________
    __________________________________________________________________________________
    通过已学过的函数模型,特别是二次函数,理解函数的单调性;
    掌握单调性的判断方法,并能简单应用;
    一、函数单调性的定义
    1、图形描述:
    对于函数的定义域I内某个区间D上,若其图像为从左到右的一条上升的曲线,我们就说函数在区间D上为单调递增函数;若其图像为从左到右的一条下降的曲线,我们就说函数在区间D上为单调递减函数。
    2、定量描述
    对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,
    (1)若当时,都有,则说在区间D上是增函数;
    (2)若当时,都有,则说在区间D上是减函数。
    3、单调性与单调区间
    若函数=在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。
    特别提醒:
    1、函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数.例如函数(图1),当时是增函数,当时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集;3、应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数)。
    二、用定义证明函数的单调性:
    定义法证明函数在某个区间上是增(减)函数是最基本方法其步骤是:
    1、取量定大小:即设是区间上的任意两个实数,且<;
    2、作差定符号:即,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形;
    3、判断定结论: 即根据定义得出结论。
    三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论
    1、函数与函数的单调性相反
    2、当恒为正或恒为负时,函数与函数的单调性相反
    3、在公共区间内,增函数增函数增函数,增函数减函数增函数,减函数增函数减函数。
    四、复合函数单调性的判断
    对于函数和,如果在区间上是具有单调性,当时,,且在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性的规律见下表:
    以上规律还可总结为:“同增异减”。
    类型一用定义证明函数的单调性
    例1:证明:函数f(x)=2x2+4x在(-∞,-1]上是减函数.
    解析:设x10,
    Δy=f(x2)-f(x1)=(2x+4x2)-(2x+4x1)
    =2(x-x)+4(x2-x1)
    =2(x2-x1)(x1+x2+2).
    ∵x1∴f(x)在(-∞,-1]上是减函数.
    答案:见解析
    练习1:证明函数f(x)=-eq \r(x)在定义域上是减函数
    答案:设x1、x2是[0,+∞)内的任意两个实数,且x10,
    Δy=f(x2)-f(x1)=-eq \r(x2)-(-eq \r(x1))=eq \r(x1)-eq \r(x2)
    =eq \f(\r(x1)-\r(x2)\r(x1)+\r(x2),\r(x1)+\r(x2))=eq \f(x1-x2,\r(x1)+\r(x2).)
    ∵x1-x2=-Δx<0,eq \r(x1)+eq \r(x2)>0,Δy<0.
    ∴f(x)=-eq \r(x)在[0,+∞)上是减函数.
    练习2:(2014~2015学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数f(x)=x+2x+1,用单调性定义证明在(-1,+∞)上是减函数。
    答案:设任意x1∈(-1,+∞),x2∈(-1,+∞),且x1f(x2)-f(x1)=eq \f(x2+2,x2+1)-eq \f(x1+2,x1+1)
    =eq \f(x1-x2,x2+1x1+1)
    类型二 证明含参数的函数的单调性
    例2:已知函数f(x)=eq \f(ax,x2-1)(a为常数且a≠0),试判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性.
    解析 任取x1、x2,使得-1则Δx=x2-x1>0.
    Δy=f(x2)-f(x1)=eq \f(ax1x2+1x1-x2,x\\al(2,1)-1x\\al(2,2)-1),
    ∵-1∴x1x2+1>0,xeq \\al(2,1)-1<0,xeq \\al(2,2)-1<0,
    ∴eq \f(x1x2+1x1-x2,x\\al(2,1)-1x\\al(2,2)-1)<0,
    ∴当a>0时,f(x2)-f(x1)<0,
    故此时函数f(x)在(-1,1)上是减函数,
    当a<0时,f(x2)-f(x1)>0,
    故此时f(x)在(-1,1)上是增函数.
    综上所述,当a>0时,f(x)在(-1,1)上为减函数,
    当a<0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.
    答案:增函数.
    练习1:判断函数f(x)=eq \f(a,x)(a为常数且a≠0)在(0,+∞)上的单调性.
    答案:当a>0时, f(x)在(0,+∞)上是减函数,当a<0时, f(x)在(0,+∞)上是增函数.
    练习2:判断函数在上的单调性
    答案:单调递减函数
    类型三 证明抽象函数的单调性
    例3:已知函数y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(x)<0(x>0),试判断F(x)=eq \f(1,fx)在(0,
    +∞)上的单调性,并证明.
    解析:F(x)在(0,+∞)上为减函数.下面给出证明:
    任取x1、x2∈(0,+∞),且Δx=x2-x1>0.
    ∵Δy=F(x2)-F(x1)=eq \f(1,fx2)-eq \f(1,fx1)
    =eq \f(fx1-fx2,fx2fx1),
    又y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且Δx=x2-x1>0,
    ∴Δy=f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
    ∴f(x1)-f(x2)<0.
    而f(x1)<0,f(x2)<0,∴f(x1)f(x2)>0,
    ∴F(x2)-F(x1)<0,
    ∴F(x)在(0,+∞)上为减函数.
    答案:减函数
    练习1:已知函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(x)<0(x>0),试判断F(x)=f ²(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明
    答案:增函数
    练习2:(2014~2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)=x²+2x+3在[-1,+∞)的单调性为____
    答案:增函数。
    类型四 求函数的单调区间
    例4:求函数y=x+eq \f(1,x),x∈(0,+∞)的单调区间,并画出函数的大致图象.
    解析:设x1、x2是任意两个不相等的正数,且x10,
    Δy=f(x2)-f(x1)=(x2+eq \f(1,x2))-(x1+eq \f(1,x1))=(x2-x1)+eq \f(x1-x2,x1x2)=(x2-x1)eq \f(x1x2-1,x1x2).
    由于00,x1x2>0,
    当x1、x2∈(0,1]时,有x1x2-1<0,此时Δy<0;
    当x1、x2∈(1,+∞)时,有x1x2-1>0,此时Δy>0,
    即函数y=x+eq \f(1,x),x∈(0,+∞)的单调减区间(0,1],单调增区间是(1,+∞).
    函数的大致图象如图所示.
    答案:单调减区间(0,1],单调增区间是(1,+∞)。
    练习1:求函数f(x)=eq \f(1,1-x)的单调区间.
    答案:单调递增区间为(-∞,1)和(1,+∞).
    练习2:函数的单调递减区间是
    答案: 和 。
    类型五 利用单调性解不等式
    例5:已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)解析:由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1<1-a<1,①,-1a2-1,③))
    由①得0由②得0∴-eq \r(2)由③得a2+a-2<0,即(a-1)(a+2)<0,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-1>0,a+2<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-1<0,a+2>0)),
    ∴-2∴a的取值范围是0答案:0练习1:已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)答案: x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|1≤x<\f(3,2))).
    练习2:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,且a为实数,则有( )
    A.f(a)C.f(a2+1)答案:C,
    类型六 用单调性求最值
    例6: 求f(x)=x+eq \r(x-1)的最小值.
    解析:f(x)=x+eq \r(x-1)的定义域为[1,+∞),
    任取x1、x2∈[1,+∞),且x10,
    则Δy=f(x2)-f(x1)=(x2+eq \r(x2-1))-(x1+eq \r(x1-1))
    =(x2-x1)+(eq \r(x2-1)-eq \r(x1-1))
    =(x2-x1)+eq \f(x2-x1,\r(x2-1)+\r(x1-1))
    =(x2-x1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,\r(x1-1)+\r(x2-1)))).
    ∵Δx=x2-x1>0,1+eq \f(1,\r(x1-1)+\r(x2-1))>0,
    ∴f(x2)-f(x1)>0.
    ∴f(x)在[1,+∞)上为增函数,∴f(x)min=f(1)=1.
    答案:1
    练习1: (2014~2015学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)已知f(x)=eq \f(1,x-1),x∈[2,6],求函数f(x)的最大值和最小值.
    答案:f(x)max=f(2)=1, f(x)min=f(6)=eq \f(1,5).
    练习2: 函数在上的最大值与最小值分别为 。
    答案:
    1、证明函数是增函数。

    答案:证明:设是R上的任意两个实数,且<

    ∵ ∴ , 又∵,
    ∴即 ∴在上是增函数。
    2、求函数的单调区间。
    答案:和。

    3、求函数的单调递增区间.
    答案:
    4、如果函数,对任意实数都有,比较的大小。
    答案:
    5、已知在上是减函数,求实数的取值范围。

    答案:
    _________________________________________________________________________________
    _________________________________________________________________________________
    基础巩固
    1. 下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( )
    A.y=eq \f(1,x2) B.y=x3
    C.y=x0 D.y=x2
    答案:D
    2.设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的增函数,则有( )
    A.a>eq \f(1,2) B.a≤eq \f(1,2)
    C.a>-eq \f(1,2) D.a答案:A
    3.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1、x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )
    A.eq \f(fx1-fx2,x1-x2)>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
    C.f(a)0
    答案:C
    4.(2014~2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
    A.a<4 B.a≤4
    C.a>4 D.a≥4
    答案:D
    5.若函数f(x)在区间(a,b]上是增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上( )
    A.必是增函数 B.必是减函数
    C.是增函数或是减函数 D.无法确定单调性
    答案:D
    6.(2014~2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是( )
    A.y=|x| B.y=3-2x
    C.y=eq \f(1,2+x) D.y=x2-4x+3
    答案:A
    ∴函数y=|x|在(0,1)上是增函数.
    7.(2014~2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数y=x2+bx+c在区间(-∞,1)上是减函数时,b的取值范围是( )
    A.b≤-2 B.b≥-2
    C.b>-2 D.b<-2
    答案:A
    能力提升
    8. (2014~2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)=eq \f(x,2x-1),证明函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
    答案: 设任意x1∈(1,+∞),x2∈(1,+∞),且x1f(x2)-f(x1)=eq \f(x2,2x2-1)-eq \f(x1,2x1-1)
    =eq \f(2x1x2-x2-2x1x2+x1,2x2-12x1-1)
    =eq \f(x1-x2,2x2-12x1-1)
    ∵x1又∵x1>1,x2>1,
    ∴2x1-1>0,2x2-1>0,
    ∴eq \f(x1-x2,2x2-12x1-1)<0,
    ∴f(x2)故函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
    9. 求函数y=eq \r(x-1)-eq \f(1,x)的最小值.
    答案:-1
    10. 已知函数f(x)对任意x、y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f(x)<0,f(1)=-eq \f(2,3).
    (1)求证:f(x)是R上的单调递减函数;
    (2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
    答案:(1)证明:设x1、x2是任意的两个实数,且x10,
    ∵x>0时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,
    又∵x2=(x2-x1)+x1,
    ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),
    ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,∴f(x2)∴f(x)是R上的单调递减函数.
    (2)解:由(1)可知f(x)在R上是减函数,
    ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
    ∴f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
    而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)))=-2.
    ∴函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.

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