北师大版必修13函数的单调性优秀课件ppt

第二章　§3　函数的单调性

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一、选择题

1．函数ƒ(x)的图像如图所示，则(　　)

A．函数ƒ(x)在[－1，2]上是增函数

B．函数ƒ(x)在[－1，2]上是减函数

C．函数ƒ(x)在[－1，4]上是减函数

D．函数ƒ(x)在[2，4]上是增函数

答案：A

2．函数ƒ(x)的单调递增区间是(3，8)，则y＝ƒ(x＋5)的递增区间是(　　)

A．(3，8) B．(－7，－2)

C．(－2，3) D．(0，5)

解析：由y＝ƒ(x)的图像向左平移5个单位，得y＝ƒ(x＋5)的图像，所以y＝ƒ(x＋5)的递增区间是(－2，3)．

答案：C

3．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有＞0成立，则必有(　　)

A．函数f(x)是先增后减函数

B．函数f(x)是先减后增函数

C．f(x)在R上是增函数

D．f(x)在R上是减函数

解析：由>0，a≠b，得当a>b时，ƒ(a)>ƒ(b)；当a<b时，ƒ(a)<ƒ(b)，故ƒ(x)在R上为增函数．

答案：C

4．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是递减的，a，b∈R，a＋b＜0，则有(　　)

A．f(a)＋f(b)＜－f(a)－f(b)

B．f(a)＋f(b)＞－f(a)－f(b)

C．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)

D．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)

解析：∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)．两式相加可得f(a)＋f(b)＞f(－b)＋f(－a)．故选D．

答案：D

5．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)

C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：f(x)＝

由f(x)的解析式可知，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，在由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.

答案：C

6．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　)

A．[1，2] B．

C．(1，2] D．

解析：要使f(x)在R上为增函数，需满足

解得1≤b≤2.

答案：A

二、填空题

7．函数ƒ(x)＝的减区间是________．

答案：(0，2)

8．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．

解析：由题意，知f(x)是R上的增函数，

又∵－3＞－π，∴f(－3)＞f(－π)．

答案：f(－3)＞f(－π)

9．函数ƒ(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则ƒ(1)＝________．

解析：由题意知，函数ƒ(x)图像的对称轴为－＝－2，∴m＝－8，∴ƒ(x)＝2x2＋8x＋3，∴ƒ(1)＝2＋8＋3＝13.

答案：13

三、解答题

10．已知函数ƒ(x)＝|－x2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1，3]上的最值．

解：函数ƒ(x)＝|－x2＋2|＝

作出函数的图像如图所示．

由图可知函数ƒ(x)＝|－x2＋2|的单调增区间为[－，0]和[，＋∞)；单调减区间为(－∞，－)和[0， ]．

在区间[1，3]上，由图像可知函数的最小值为ƒ()＝0，最大值为ƒ(3)＝7.

11．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足以下条件：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.

(1)求证：f(8)＝3；

(2)求不等式f(x)>3＋f(x－2)的解集．

解：(1)证明：f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3.

(2)∵f(8)＝3，

∴f(x)>f(8)＋f(x－2)，即f(x)>f(8x－16)．

∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，

∴即解得2<x<.

∴不等式的解集是.

12．已知函数ƒ＝x＋.

(1)求函数ƒ(x)的解析式；

(2)判断函数ƒ(x)在区间上的单调性，并用定义法加以证明．

解：(1)∵ƒ＝x＋＝2·＋·，∴ƒ(x)＝2x＋.

(2)函数ƒ(x)在上是增函数，证明如下：

任取x1>x2>，则ƒ(x1)－ƒ(x2)＝2x1＋－＝2(x1－x2)＋·＝(x1－x2).∵x1>x2>，∴x1－x2>0，2x1x2>，<2，即2－>0，

∴(x1－x2)>0，即ƒ(x1)－ƒ(x2)>0，

∴ƒ(x1)>ƒ(x2)，∴ƒ(x)在上是增函数．

13．已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是递增的，且f(x)＜0(＞0)，判断F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性并证明．

解：F(x)在(0，＋∞)是递减的．

证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

F(x1)－F(x2)＝－＝.

∵f(x)＜0(x＞0)，∴f(x1)f(x2)＞0.

∵f(x)在(0，＋∞)上是递增的，且x1＜x2，

∴f(x1)＜f(x2)，f(x2)－f(x1)＞0.

∴F(x1)－F(x2)＞0即F(x1)＞F(x2)．

∴F(x)在(0，＋∞)上是递减的．