北师大版本节综合教学设计及反思

对数函数

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1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数 y=a x 与对数函数y=loga x 互为反函数. （a > 0, a≠1）

一、对数函数的定义：

函数叫做对数函数。

二、对数函数的图像和性质：

三、比较对数值的大小，常见题型有以下几类：

1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；

2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；

3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。

四、对数不等式的解法：

五、对数方程常见的可解类型有：

形如的方程，化成求解；

形如的方程，用换元法解；

形如的方程，化成指数式求解

指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

类型一 求函数的定义域

例1：求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝；

解析：(1)由题意得lg(2－x)≥0，

即2－x≥1，∴x≤1，

则y＝的定义域为{x|x≤1}．

(2)欲使y＝有意义，

应有log3(3x－2)≠0，∴.

解得x>，且x≠1.

答案：(1) {x|x≤1}．   (2) {x| x>，且x≠1.}．

练习1：(2014～2015学年浙江舟山中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝＋的定义域为________________．

答案：(－1,0)∪(0,2]

练习2：(2014·江西理，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)

A．(0,1)　　　　　　　 

B．[0,1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)  

D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

答案: C

类型二 应用对数函数的性质比较数的大小

例2：比较下列各组中两个数的大小：

(1)log23.4和log28.5；　(2)log0.53.8和log0.52；

 解析：(1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4<8.5，∴log23.4<log28.5.

(2)∵y＝log0.5x在x∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8>2，∴log0.53.8<log0.52.

 答案：(1)log23.4<log28.5.   (2) log0.53.8<log0.52.

练习1：设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)

A．a>c>b  B．b>c>a

C．c>b>a  D．c>a>b

答案：D

练习2：(2014·天津文，4)设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则(　　)

A．a>b>c  B．b>a>c

C．a>c>b  D．c>b>a

答案：C

类型三 与对数函数有关的图象问题

例3：函数y＝|x|的大致图象是(　　)

解析：当x＝1时，y＝1＝0，排除A；

当x＝2时，y＝2＝－1，排除B、C、，故选D．

答案: D

练习1：函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)

答案: A

练习2：已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的(　　)

答案：B

类型四 求反函数

例4：求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．

解析: 由y＝2x＋1，得2x＝y－1，

∴x＝log2(y－1)，∴y＝log2(x－1)．

又∵x<0，∴0<2x<1，∴1<2x＋1<2，

∴所求函数的反函数为y＝log2(x－1)(1<x<2)．

答案：y＝log2(x－1)(1<x<2)．

练习1：求函数y＝的反函数．

答案：y＝(x≠－1)．

练习2：函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(　　)

A．x＝2－y　　　　　 B．x＝y－2

C．y＝2－x，x∈R  D．y＝x－2，x∈R

答案: D

类型五 互为反函数的图象间的关系

例5: 函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图象经过(　　)

A．第一、二象限  B．第二、三象限

C．第三、四象限  D．第一、四象限

解析：因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图象经过第二、三象限．

答案：B

练习1: 已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象经过点Q(5,2)，则b＝__________.

答案：1

练习2: 已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　　)

A．－e　　 B．－　　

C．　　 D．e

答案：C

1、(2014～2015学年度武汉二中龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(3，＋∞)  B．[3，＋∞)

C．(3,4]  D．(－∞，4]

答案：C

2、(2014～2015学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于(　　)

A．4  B．2

C．2  D．

答案：A

3、(2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝  B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x  D．y＝log0.5(x＋1)

答案：A

4、(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝lg(x2－4x－5)的值域为(　　)

A．(－∞，＋∞)  B．(－1,5)

C．(5，＋∞)  D．(－∞，－1)

答案：A

5、．函数y＝1－(x≥2)的反函数为(　　)

A．y＝(x－1)2＋1(x≥1)  B．y＝(x－1)2－1(x≥0)

C．y＝(x－1)2＋1(x≤1)  D．y＝(x－1)2＋1(x≤0)

答案: D

6、函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点(　　)

A．(1,2)  B．(2,1)

C．(1,3)  D．(3,1)

答案: D

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基础巩固

1．已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的(　　)

答案：B

2．(2015·广东理，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝  B．y＝x＋

C．y＝2x＋  D．y＝x＋ex

答案：D

3．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(　　)

A．x＝2－y　　　　　 B．x＝y－2

C．y＝2－x，x∈R  D．y＝x－2，x∈R

答案：D

4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　　)

A．－e　　 B．－　　

C．　　 D．e

答案：C

5．(2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)函数y＝log2(4x－x2)的递增区间为________．

答案: (0,2]

能力提升

6．(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)函数f(x)＝＋lg(2＋5x－3x2)的定义域是(　　)

A．  B．

C．  D．

答案：B

7．(2015·湖南文，8)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

答案：A

8. 已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是(　　)

A．增函数  B．减函数

C．奇函数  D．偶函数

答案：A

9．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝，则f[f()]＝________.

答案：

10. 已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；

(3)判断f－1(x)的单调性．

答案：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，

故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.

(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay.

∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．

(3)f－1(x)在R上是减函数．

证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2，

∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，

∵a>1，x1<x2，∴ax1<ax2即ax1－ax2<0，

∴f－1(x2)<f－1(x1)，

∴y＝f－1(x)在R上是减函数．