2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 17 word版含答案
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这是一份2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 17 word版含答案,共12页。试卷主要包含了基础小题,高考小题,模拟小题等内容,欢迎下载使用。
考点测试17 定积分与微积分基本定理 一、基础小题1.下列积分的值等于1的是( )A.xdx B.(x+1)dxC.dx D.dx答案 C解析 dx=x=1. 2.若dx=3+ln 2(a>1),则a的值是( )A.2 B.3C.4 D.6答案 A解析 dx=(x2+ln x) =a2+ln a-1=3+ln 2,即a=2.3.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( )A. B.C. D.答案 B解析 根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0).因为f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1,即a=-1.所以f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2.所以S= (1-x2)dx=2(1-x2)dx=2=2=.4.设f(x)=则-1f(x)dx等于( )A.x2dx B.2xdxC.x2dx+2xdx D.2xdx+x2dx答案 D解析 ∵f(x)=∴f(x)dx=2xdx+x2dx. 5.设f(x)是一条连续的曲线,且为偶函数,在对称区间上的定积分为f(x)dx,由定积分的几何意义和性质,得f(x)dx可表示为( )A.-f(x)dx B.2f(x)dxC.f(x)dx D.f(x)dx答案 B解析 偶函数的图象关于y轴对称,故f(x)dx对应的几何区域关于y轴对称,因而其可表示为2f(x)dx,应选B.6.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)dx=3f(x0),则x0等于( )A.±1 B.C.± D.2答案 C解析 f(x)dx=(ax2+b)dx==9a+3b,∴9a+3b=3(ax+b),即x=3,x0=±,故选C.7.给出如下命题:①dx=dt=b-a(a、b为常数,且a<b);②dx=dx=;③f(x)dx=2f(x)dx(a>0).其中正确命题的个数为( )A.0 B.1C.2 D.3答案 B解析 由于dx=a-b,dt=b-a,所以①错误;由定积分的几何意义知,dx和dx都表示半径为1的圆的面积,所以都等于,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有f(x)dx=2f(x)dx,所以③错误,故选B.8.由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为( )A. B.C. D.答案 A解析 在直角坐标系内,画出曲线和直线围成的封闭图形,如图所示,由x2+2x=x,解得两个交点坐标为(-1,-1)和(0,0),封闭图形的面积为S=dx==-+=.9.设a=xdx,b=1-xdx,c=x3dx,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.b>c>a答案 A解析 由题意可得a=xdx==x=;b=1-xdx=1-=1-=;c=x3dx==,故a>b>c,故选A.10.曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为( )A. (sinx-cosx)dx B.2 (sinx-cosx)dxC.2 (cosx-sinx)dx D. (cosx-sinx)dx答案 C解析 当x∈时,cosx≥sinx,当x∈时,sinx>cosx,故所求平面区域的面积为cosx-sinxdx+ (sinx-cosx)dx,数形结合知 (cosx-sinx)dx= (sinx-cosx)dx,故选C.11.一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度v(t)=5-t+(t的单位:s,v的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是( )A.55ln 10 m B.55ln 11 mC.(12+55ln 7) m D.(12+55ln 6) m答案 B解析 令5-t+=0,注意到t>0,得t=10,即经过的时间为10 s;行驶的距离s=∫dt==55ln 11,即紧急刹车后火车运行的路程为55ln 11 m. 12.由曲线y=2-x2,直线y=x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________.答案 +解析 把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积.易得S= (2-x2)dx+(2-x2-x)dx=+=2-+2--=+. 二、高考小题13.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2 B.4C.2 D.4答案 D解析 由得x=0或x=2或x=-2(舍).∴S=(4x-x3)dx==4.14.若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间上的正交函数的组数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案 C解析 由①得f(x)g(x)=sinxcosx=sinx,是奇函数,所以-1f(x)g(x)dx=0,所以①为区间上的正交函数;由②得f(x)g(x)=x2-1,∴f(x)g(x)dx= (x2-1)dx==-,所以②不是区间上的正交函数;由③得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以③为区间上的正交函数.故选C.15.已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x= B.x=C.x= D.x=答案 A解析 由f(x)dx=sin(x-φ)dx=-cos(x-φ)=-cos+cosφ=0,得cosφ=sinφ.从而有tanφ=,则φ=nπ+,n∈Z,从而有f(x)=sin=(-1)n·sin,n∈Z.令x-=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,即f(x)的图象的对称轴是x=kπ+,k∈Z,故选A.16.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为________.答案 解析 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由解得x=0或x=1,所以S=(x-x2)dx==-=.17.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________. 答案 1.2解析 建立直角坐标系,如图.过B作BE⊥x轴于点E,∵∠BAE=45°,BE=2,∴AE=2,又OE=5,∴A(3,0),B(5,2).设抛物线的方程为x2=2py(p>0),代入点B的坐标,得p=,故抛物线的方程为y=x2.从而曲边三角形OEB的面积为x2dx==.又S△ABE=×2×2=2,故曲边三角形OAB的面积为,从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形ABCD的面积为×2=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为=1.2. 18.正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.答案 解析 由对称性可知S阴影=S正方形ABCD-4x2dx=22-4×=,所以所求概率为=.三、模拟小题19. sin2dx=( )A.0 B.-C.- D.-1答案 B解析 sin2dx=dx==-.故选B.20.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B.C. D.答案 D解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于(-x2)dx=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.21.若f(x)=f(f(1))=1,则a的值为( )A.1 B.2C.-1 D.-2答案 A解析 因为f(1)=lg 1=0,f(0)=3t2dt=t3=a3,所以由f(f(1))=1得:a3=1,a=1,故选A.22.若m>1,则f(m)=dx的最小值为________.答案 -1解析 f(m)=dx==m+-5≥4-5=-1,当且仅当m=2时等号成立.23.-1(x+)dx=________.答案 解析 (x+)dx=xdx+dx.又xdx=x2=0,而由定积分的几何意义知,dx表示y=在上与x轴围成的图形的面积,显然该图形是半径为1的半圆,其面积为,即dx=,故 (x+)dx=.24.设a=(sinx+cosx)dx,则二项式6的展开式中含x2项的系数是________.答案 -192解析 依题意得a=(sinx+cosx)dx=(sinx-cosx) =2.注意到二项式6的展开式的通项是Tr+1=C(a)6-rr=Ca6-r(-1)rx3-r.令3-r=2得r=1,因此二项式6的展开式中含x2项的系数等于Ca6-1(-1)1=-6a5=-6×25=-192. 一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型.二、模拟大题1.用min{a,b}表示a,b两个数中的较小的数,设f(x)=min{x2,},那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=和直线x=4所围成的封闭图形的面积是多少? 解 如图所示,所求图形的面积为阴影部分的面积,即所求的面积S=x2dx+dx=.2.如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是多少?解 阴影部分的面积为2sinxdx=2(-cosx)=4,圆的面积为π3,所以点A落在区域M内的概率是.3.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)dx=-2,(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在上的最大值与最小值.解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f′(0)=0,得即∴f(x)=ax2+2-a.又f(x)dx=(ax2+2-a)dx==2-a=-2,,∴a=6,从而f(x)=6x2-4.(2)∵f(x)=6x2-4,x∈,∴当x=0时,f(x)min=-4;当x=±1时,f(x)max=2. 4.在区间上给定曲线y=x2.试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值.解 面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积,即S1=t·t2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以阴影部分面积S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1).令S′(t)=4t2-2t=4t=0时,得t=0或t=.t=0时,S=;t=时,S=;t=1时,S=.所以当t=时,S最小,且最小值为.
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