2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第二章　函数、导数及其应用 13 word版含答案

这是一份2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第二章　函数、导数及其应用 13 word版含答案，共16页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

一、基础小题
1.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
答案 D
解析 由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．
2.如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
答案 D
解析 根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D.
3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7B．8
C．9D．10
答案 C
解析 由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.
4．2003年至2015年某市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 ( )
A．f(x)＝ax2＋bx＋cB．f(x)＝aex＋b
C．f(x)＝eax＋bD．f(x)＝aln x＋b
答案 D
解析 由题可得，这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大，f(x)逐渐增大，图象逐渐上升．对于A，f(x)＝ax2＋bx＋c，取a>0，－eq \f(b,2a)0，b>0，可得满足条件的函数；对于C，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于D，a>0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征，当ag(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 画出三个函数的图象，如下图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
6.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元B．60万元
C．120万元D．140万元
答案 C
解析 甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.
7．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A．y＝2x－2B．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
C．y＝lg3xD．y＝2x－2
答案 B
解析 把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y＝eq \f(1,2)(x2－1)．
8．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量的增长速度保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )
答案 A
解析 因为前3年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后3年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化．故选A.
9．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )
A．11000元B．22000元
C．33000元D．40000元
答案 C
解析 设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴当x＝60时，有最大利润33000元，故选C.
10．已知某池塘中浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系式为y＝at，其图象如图所示，现有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2 m2、3m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是( )
A．①②B．①②③④
C．②③④⑤D．①②⑤
答案 D
解析 因为点(1,2)在图象上，所以这个指数函数的底数是2，即①正确；因为函数y＝2t在R上单调递增，且当t＝5时，y＝32，所以②正确；当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后y＝23.50，))且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是________．
答案 ①④
解析 ∵某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64，x≤0，,2kx＋6，x>0，))且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－eq \f(1,2)，∴t＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64，x≤0，,2 eq \s\up15(－\f(1,2)x＋6) ，x>0，))①当x＝6时，t＝8，故①正确；②当x∈时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t＝2 eq \s\up15(－eq \f(1,2)×11＋6) ＝eq \r(2)≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．故正确结论的序号为①④.
二、高考小题
12．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
答案 B
解析 设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1>200，则lg >lg 200，∴lg 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>eq \f(24,5)，又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.
13．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
14.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5B．6
C．8D．10
答案 C
解析 因为函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k的最小值为2，所以－3＋k＝2，得k＝5，故这段时间水深的最大值为3＋5＝8(m)，选C.
15．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A．eq \f(p＋q,2)B．eq \f(p＋1q＋1－1,2)
C．eq \r(pq)D．eq \r(p＋1q＋1)－1
答案 D
解析 设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x>0，因此x＝eq \r(1＋p1＋q)－1，故选D.
16．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
答案 160
解析 设底面长为x m，宽为eq \f(4,x) m，造价为y元，y＝4×20＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))×10＝80＋20x＋eq \f(80,x)≥80＋2eq \r(20x·\f(80,x))＝160，当且仅当20x＝eq \f(80,x)，即x＝2时，等号成立，所以最低总造价为160元．
17．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
答案 (1)1900 (2)100
解析 (1)当l＝6.05时，F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋20×6.05)，
∴F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋121)＝eq \f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq \f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝1900，当且仅当v＝eq \f(121,v)，即v＝11时取“＝”．
∴最大车流量F为1900辆/小时．
(2)当l＝5时，F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋20×5)＝eq \f(76000,v＋\f(100,v)＋18)，
∴F≤eq \f(76000,2\r(v·\f(100,v))＋18)＝2000，
当且仅当v＝eq \f(100,v)，即v＝10时取“＝”．
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．
三、模拟小题
18．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：
根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是( )
A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)
B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)
C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)
D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)
答案 C
解析 观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.
19．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案 A
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq \r(mm＋8a)，因为yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
20．某种电子元件的成本前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的成本与原来的成本比较，变化情况是( )
A．减少7.84%B．增加7.84%
C．减少9.5%D．不增不减
答案 A
解析 设该元件原来的成本为a，则有a(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.9216a，eq \f(a－0.9216a,a)×100%＝7.84%.故选A.
21．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放．( )
A．eq \f(1,2) hB．eq \f(5,9) h
C．5 hD．10 h
答案 C
解析 设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝ae－5k，所以5k＝ln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥ae－tk，所以tk≥2ln 10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5(h)才可以排放．
22．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
答案 120 80
解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四个函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝at2＋bt＋c描述．根据题意得Q＝a(t－120)2＋m，将表中数据代入可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
一、高考大题
1.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝eq \f(a,x2＋b)(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
解 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．
将其分别代入y＝eq \f(a,x2＋b)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,25＋b)＝40，,\f(a,400＋b)＝2.5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1000，,b＝0.))
(2)①由(1)知，y＝eq \f(1000,x2)(5≤x≤20),
则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(1000,t2)))，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，
y′＝－eq \f(2000,x3)，
则l的方程为y－eq \f(1000,t2)＝－eq \f(2000,t3)(x－t)，
由此得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3t,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3000,t2))).
故f(t)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3t,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3000,t2)))2)
＝eq \f(3,2) eq \r(t2＋\f(4×106,t4))，t∈．
②设g(t)＝t2＋eq \f(4×106,t4)，则g′(t)＝2t－eq \f(16×106,t5).
令g′(t)＝0，解得t＝10eq \r(2).
当t∈(5,10eq \r(2))时， g′(t)0，g(t)是增函数．
从而，当t＝10eq \r(2)时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15eq \r(3).
故当t＝10eq \r(2)时，公路l的长度最短，最短长度为15eq \r(3)千米．
二、模拟大题
2.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出该函数的定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解 (1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．
因为△EPQ ∽△EDF，所以eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，即eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2).
所以y＝－eq \f(1,2)x＋10.易知定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
因为当x∈时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，所以矩形BNPM的面积的最大值为48平方米．
3．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q>1)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；
(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．
解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.
(2)对于f(x)＝x(x－q)2＋p，
由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，
又q>1，所以q＝3，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．
(3)因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，
所以f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)