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2020-2021学年华东师大 版九年级下册数学期中复习试卷（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年华东师大 版九年级下册数学期中复习试卷（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了下列各数中，负数是，下列运算正确的是，已知点P，如图，几何体的左视图是，如图，已知P等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年华东师大新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列各数中，负数是（ ）
A．|﹣5| B．﹣（﹣3） C．（﹣1）2019 D．（﹣1）0
2．据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．8.9×106 B．8.9×105 C．8.9×107 D．8.9×108
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C． D．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a
4．已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m2﹣n的值是（ ）
A．6﹣ B．6 C．12﹣ D．13
5．已知点P（a，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
8．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
11．将一把直尺，含有60°的直角三角板和光盘如图摆放，已知点A为60°角与直尺交点，AB＝2，则光盘的直径是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折后，点B恰好落在边AC的E点处，若CE＝5，AE＝3，则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C．4 D．13
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．函数y＝+的自变量x的取值范围是 ．
14．因式分解：x2y﹣36y＝ ．
15．如果方程+＝0不会产生增根，那么k的取值范围是 ．
16．已知：函数y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，若x＜，则y1 y2（填“＞”或＝或“＜”）
17．如图，已知AD为∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，如果AE＝3，EC＝5，那么＝ ．
18．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…，为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…，均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则y1+y2+y3+…+y10的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
20．（6分）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．
21．（8分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
22．（8分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
23．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，写出求tanC的思路．
24．（9分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出这个二次函数的表达式；
（2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？
25．（10分）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求D点的坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：A、|﹣5|＝5，是正数，不合题意；
B、﹣（﹣3）＝3，是正数，不合题意；
C、（﹣1）2019＝﹣1，是负数，符合题意；
D、（﹣1）0＝1，是正数，不合题意；
故选：C．
2．解：89 000 000这个数据用科学记数法表示为8.9×107．
故选：C．
3．解：A、3a×2a＝6a2，选项错误；
B、a8÷a4＝a4，选项错误；
C、，选项错误；
D、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，选项正确；
故选：D．
4．解：∵3＜＜4，
∴m＝3；
又∵3＜＜4，
∴n＝﹣3；
则m2﹣n＝9﹣+3＝12﹣．
故选：C．
5．解：∵点P（a，2﹣a）关于原点对称的点为（﹣a，a﹣2）在第四象限，
∴，
解得：a＜0，
则a的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：B．
6．解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．
故选：A．
7．解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
8．解：设该队获胜了x场，平局了y场，
由题意得：，
解得：，
即该队获胜的场数为6，
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数y＝ax+c，图象经过第二、三、四象限，
反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，
故选：A．
10．解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN＝AM，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴MN＝AB＝1，
∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，
此时PM、MN、NB长度之和最小，
∵P（3，2），B（﹣2，0），AB＝1，
∴A（﹣1，0），
设AP的解析式为y＝kx+b，则
，解得，
∴y＝x+，
令x＝0，则y＝，即M（0，），
故选：A．
11．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：
由切线长定理知AB＝AC＝2，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝2，
∴光盘的直径为4，
故选：D．
12．解：设点D到AC的距离为h，
∵将△BCD沿直线CD翻折后，点B恰好落在边AC的E点处，
∴BC＝CE，∠BCD＝∠ACD，
∴点D到BC的距离为h，
∵CE＝5，AE＝3，
∴AC＝8，
∵∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝×5×8＝20，
又∵S△ADC＝×AC×h＝×8×h，S△BCD＝×5×h，
∴×8×h+×5×h＝20，
解得h＝
∴点D到AC的距离h＝，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：由题意，得
3﹣x＞0且x﹣2≠0，
解得x≤3且x≠2，
故答案为：x≤3且x≠2．
14．解：x2y﹣36y＝y（x2﹣36）＝y（x+6）（x﹣6），
故答案为：y（x+6）（x﹣6）．
15．解： +＝0，
去分母得，2k+x＝0，
当x＝﹣2时，会产生增根，
把x＝﹣2代入整式方程得，2k﹣2＝0，
解得k＝1，
∴解方程+＝0时，不会产生增根，实数k的取值范围为k≠1．
故答案是：k≠1．
16．解：联立y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，
解得，
所以当x＜时，y1＜y2
故答案为：＜．
17．解：∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AE＝3，EC＝5，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴．
故答案为：
18．解：过点C1，C2，C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1，D2，D3…，
由题意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，……
设OD1＝a，则C1（a，a），由点C1（a，a）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a•a＝4，
解得a＝2（取正值），
∴y1＝2，
设A1D2＝b，则C2（4+b，b），由点C2（4+b，b），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（4+b）•b＝4，
解得b＝2﹣2（取正值），
∴y2＝2﹣2，
设A2D3＝c，则C3（4+c，c），由点C3（4+c，c），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（4+c）•c＝4，
解得c＝2﹣2（取正值），
∴y3＝2﹣2，
同理可求y4＝2﹣2，y5＝2﹣2，y6＝2﹣2，……y10＝2﹣2，
∴y1+y2+…+y10＝2+2﹣2+2﹣2+2﹣2+…+2﹣2＝2，
故答案为2．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解：原式＝2×+﹣1﹣+1
＝
＝．
20．解：原式＝[﹣]•x（x﹣1）
＝•x（x﹣1）
＝﹣x﹣1；
解不等式组，
得﹣2＜x＜2，
由于x≠0、x≠1且x为整数，
∴x＝﹣1．
当x＝﹣1时，
原式＝1﹣1＝0．
21．解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：
（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
22．解：（1）如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cos∠AOC＝＝＝．
∴∠AOC＝43°，
∴＝27.4（秒）．
答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．
（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×＝1.5（m），
2.2﹣1.5＝0.7（m），
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m．
（3）如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，
∴∠POM＝68°，
在Rt△COM中，cos∠COM＝＝＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6（秒），
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
23．（1）证明：连接OD，
∵AB为直径∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：思路是：
连接BE，
∵AC＝3AE，AB＝AC，
∴设AE＝x，AC＝AB＝3x，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：BE＝＝2x，
在Rt△ECB中，tanC＝＝＝．
24．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，
把x＝3，y＝﹣3代入，得a＝﹣，
这个二次函数的表达式y＝﹣x2；
（2）把y＝﹣2代入解y＝﹣x2得，x＝±，
所以此时水面宽度为2．
答：此时水面宽为2米．
25．解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，且≥0，（a+b+3）2≥0，
∴，
解得：．
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4）；
（3）∵D（1，4）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；
（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴＝．
即的定值为．
26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为．
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，
∴∠NA′P＝∠NPA，
在△A′NP与△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS），
∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，
∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2）．
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
2020-2021学年华东师大新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列各数中，负数是（ ）
A．|﹣5| B．﹣（﹣3） C．（﹣1）2019 D．（﹣1）0
2．据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．8.9×106 B．8.9×105 C．8.9×107 D．8.9×108
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C． D．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a
4．已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m2﹣n的值是（ ）
A．6﹣ B．6 C．12﹣ D．13
5．已知点P（a，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
8．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
11．将一把直尺，含有60°的直角三角板和光盘如图摆放，已知点A为60°角与直尺交点，AB＝2，则光盘的直径是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折后，点B恰好落在边AC的E点处，若CE＝5，AE＝3，则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C．4 D．13
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．函数y＝+的自变量x的取值范围是 ．
14．因式分解：x2y﹣36y＝ ．
15．如果方程+＝0不会产生增根，那么k的取值范围是 ．
16．已知：函数y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，若x＜，则y1 y2（填“＞”或＝或“＜”）
17．如图，已知AD为∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，如果AE＝3，EC＝5，那么＝ ．
18．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…，为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…，均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则y1+y2+y3+…+y10的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
20．（6分）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．
21．（8分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
22．（8分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
23．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，写出求tanC的思路．
24．（9分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出这个二次函数的表达式；
（2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？
25．（10分）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求D点的坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：A、|﹣5|＝5，是正数，不合题意；
B、﹣（﹣3）＝3，是正数，不合题意；
C、（﹣1）2019＝﹣1，是负数，符合题意；
D、（﹣1）0＝1，是正数，不合题意；
故选：C．
2．解：89 000 000这个数据用科学记数法表示为8.9×107．
故选：C．
3．解：A、3a×2a＝6a2，选项错误；
B、a8÷a4＝a4，选项错误；
C、，选项错误；
D、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，选项正确；
故选：D．
4．解：∵3＜＜4，
∴m＝3；
又∵3＜＜4，
∴n＝﹣3；
则m2﹣n＝9﹣+3＝12﹣．
故选：C．
5．解：∵点P（a，2﹣a）关于原点对称的点为（﹣a，a﹣2）在第四象限，
∴，
解得：a＜0，
则a的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：B．
6．解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．
故选：A．
7．解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
8．解：设该队获胜了x场，平局了y场，
由题意得：，
解得：，
即该队获胜的场数为6，
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数y＝ax+c，图象经过第二、三、四象限，
反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，
故选：A．
10．解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN＝AM，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴MN＝AB＝1，
∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，
此时PM、MN、NB长度之和最小，
∵P（3，2），B（﹣2，0），AB＝1，
∴A（﹣1，0），
设AP的解析式为y＝kx+b，则
，解得，
∴y＝x+，
令x＝0，则y＝，即M（0，），
故选：A．
11．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：
由切线长定理知AB＝AC＝2，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝2，
∴光盘的直径为4，
故选：D．
12．解：设点D到AC的距离为h，
∵将△BCD沿直线CD翻折后，点B恰好落在边AC的E点处，
∴BC＝CE，∠BCD＝∠ACD，
∴点D到BC的距离为h，
∵CE＝5，AE＝3，
∴AC＝8，
∵∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝×5×8＝20，
又∵S△ADC＝×AC×h＝×8×h，S△BCD＝×5×h，
∴×8×h+×5×h＝20，
解得h＝
∴点D到AC的距离h＝，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：由题意，得
3﹣x＞0且x﹣2≠0，
解得x≤3且x≠2，
故答案为：x≤3且x≠2．
14．解：x2y﹣36y＝y（x2﹣36）＝y（x+6）（x﹣6），
故答案为：y（x+6）（x﹣6）．
15．解： +＝0，
去分母得，2k+x＝0，
当x＝﹣2时，会产生增根，
把x＝﹣2代入整式方程得，2k﹣2＝0，
解得k＝1，
∴解方程+＝0时，不会产生增根，实数k的取值范围为k≠1．
故答案是：k≠1．
16．解：联立y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，
解得，
所以当x＜时，y1＜y2
故答案为：＜．
17．解：∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AE＝3，EC＝5，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴．
故答案为：
18．解：过点C1，C2，C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1，D2，D3…，
由题意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，……
设OD1＝a，则C1（a，a），由点C1（a，a）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a•a＝4，
解得a＝2（取正值），
∴y1＝2，
设A1D2＝b，则C2（4+b，b），由点C2（4+b，b），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（4+b）•b＝4，
解得b＝2﹣2（取正值），
∴y2＝2﹣2，
设A2D3＝c，则C3（4+c，c），由点C3（4+c，c），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（4+c）•c＝4，
解得c＝2﹣2（取正值），
∴y3＝2﹣2，
同理可求y4＝2﹣2，y5＝2﹣2，y6＝2﹣2，……y10＝2﹣2，
∴y1+y2+…+y10＝2+2﹣2+2﹣2+2﹣2+…+2﹣2＝2，
故答案为2．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解：原式＝2×+﹣1﹣+1
＝
＝．
20．解：原式＝[﹣]•x（x﹣1）
＝•x（x﹣1）
＝﹣x﹣1；
解不等式组，
得﹣2＜x＜2，
由于x≠0、x≠1且x为整数，
∴x＝﹣1．
当x＝﹣1时，
原式＝1﹣1＝0．
21．解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：
（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
22．解：（1）如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cos∠AOC＝＝＝．
∴∠AOC＝43°，
∴＝27.4（秒）．
答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．
（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×＝1.5（m），
2.2﹣1.5＝0.7（m），
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m．
（3）如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，
∴∠POM＝68°，
在Rt△COM中，cos∠COM＝＝＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6（秒），
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
23．（1）证明：连接OD，
∵AB为直径∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：思路是：
连接BE，
∵AC＝3AE，AB＝AC，
∴设AE＝x，AC＝AB＝3x，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：BE＝＝2x，
在Rt△ECB中，tanC＝＝＝．
24．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，
把x＝3，y＝﹣3代入，得a＝﹣，
这个二次函数的表达式y＝﹣x2；
（2）把y＝﹣2代入解y＝﹣x2得，x＝±，
所以此时水面宽度为2．
答：此时水面宽为2米．
25．解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，且≥0，（a+b+3）2≥0，
∴，
解得：．
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4）；
（3）∵D（1，4）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；
（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴＝．
即的定值为．
26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为．
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，
∴∠NA′P＝∠NPA，
在△A′NP与△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS），
∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，
∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2）．
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
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