全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷十三理含解析

这是一份全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷十三理含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考仿真模拟卷(十三)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|3－2x＜1}，B＝{x|4x－3x2≥0}，则A∩B＝(　　)
A．(1，2] B.
C．[0，1) D．(1，＋∞)
2．已知复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为纯虚数，差为实数，则实数a，b的值为(　　)
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝－3，b＝4
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝(　　)

A．4 B．5
C．6 D．7
4．已知命题p：函数f(x)＝|cos x|的最小正周期为2π； 命题q：函数y＝x3＋sin x的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∨q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．已知T为常数，定义fT(x)＝若f(x)＝x－ln x，则f3[f2(e)]的值为(　　)
A．e－1 B．e
C．3 D．e＋1
6．与变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；与变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)
A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1
7．经过点(2，1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
8．在数列{an}中，若对任意的n均有an＋an＋1＋an＋2为定值(n∈N*)，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝(　　)
A．132 B．299
C．68 D．99
9．在△ABC中，AC＝3，向量在上的投影的数量为－2，S△ABC＝3，则BC＝(　　)
A．5 B．2
C. D．4
10．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
11．若双曲线－＝1(a>0，b>0)经过等腰梯形ABCD的上底的两个顶点C、D，下底的两个顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，对角线AC与双曲线的左支交于点E，且3|AE|＝2|EC|，|AB|＝2|CD|，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
12．已知点O为坐标原点，点An(n，an)(n∈N*)为函数f(x)＝的图象上的任意一点，向量i＝(0，1)，θn是向量 n与i的夹角，则数列的前2 017项的和为(　　)
A．2 B.
C. D．1


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案














第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．若的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．
14.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是__________．
15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为__________．
16．如果函数y＝f(x)满足：在区间[a，b]上存在x1，x2(a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
5
7
9
8
乙班
4
8
9
7
7
(1)从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明)；
(2)若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班2名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望．







18.(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且＝λ.
(1)当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；
(2)若λ＝，记二面角B1­A1B­E的大小为θ，求|cos θ|.






19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(a＋an)，an>0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正整数m，使得m≤Tn






20．(本小题满分12分)在矩形ABCD中，|AB|＝8，|BC|＝6，P、Q、R、S分别为四条边的中点，以SQ和PR所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设M，N分别是线段OQ与线段CQ上的动点(O为坐标原点)，并且满足|OM|·|NQ|＝|MQ|·|CN|.
(1)求直线PM与RN的交点T的轨迹方程，并说明是何种曲线；
(2)当M是OQ的中点时，求△TPR的面积．





21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x－x，g(x)＝x2－(1－a)x－(2－a)ln x，其中a∈R.
(1)若g(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象交x轴于A，B两点，AB中点的横坐标为x0，问：函数F(x)的图象在点(x0，F(x0))处的切线能否平行于x轴？










请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与系数方程
在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cos θ和曲线C2：ρcos θ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．
(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；
(2)若f(x)≥4对a∈R恒成立，求实数a的取值范围.





























高考仿真模拟卷(十三)
1．解析：选B.因为A＝{x|3－2x＜1}＝{x|x＞1}，B＝所以A∩B＝，选B.
2．解析：选B.因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i是纯虚数，所以a＝3，b≠－4.因为z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是实数，所以b＝4.
3．解析：选C.执行程序框图，可知：n＝2，s＝1＋(－1)3×4＝－3；n＝3，s＝－3＋(－1)4×32＝6，跳出循环，输出的s＝6，故选C.
4．解析：选B.因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题．
5．解析：选C.由题意得，f(e)＝e－1<2，所以f2(e)＝2，又f(2)＝2－ln 2<3，
所以f3[f2(e)]＝3.
6．解析：选C.对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X成正相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U成负相关，即r2＜0，所以有r2＜0＜r1.
7．解析：选A.设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，其渐近线方程为y＝± x，因为渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，所以＝1，得m＝－3n，①
又双曲线过点(2，1)，所以4m＋n＝1，②
联立①②，可得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
8．解析：选B.设an＋an＋1＋an＋2＝M，则an＋1＋an＋2＋an＋3＝M，后式减去前式得an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列，a7＝a1＝2，a9＝a3＝3，a98＝a2＝4，所以在一个周期内的三项之和为9，所以S100＝33×9＋2＝299.
9．解析：选C.因为向量在上的投影的数量为－2，
所以||cos A＝－2.　①
因为S△ABC＝3，所以||||sin A＝||sin A＝3，
所以||sin A＝2.　②
由①②得tan A＝－1，
因为A为△ABC的内角，所以A＝，
所以||＝＝2.
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ＝(2)2＋32－2×2×3×＝29，所以BC＝.
故选C.
10．解析：选C.甲的平均数是＝6，中位数是6，极差是4，方差是＝2；
乙的平均数是＝6，中位数是5，极差是4，方差是＝>2，故选C.
11．解析：选D.由题意可知，A(－c，0)，B(c，0)，又点C在双曲线上，ABCD为等腰梯形，|AB|＝2|CD|，所以点C的横坐标为，不妨设C，由3|AE|＝2|EC|可知＝，得E，从而满足消去，得＝7，所以该双曲线的离心率为.
12．解析：选C.因为an＝，所以n＝，所以cos θn＝＝，因为0≤θn≤π，所以sin θn＝＝，所以＝＝－，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
13．解析：令x＝1，得的展开式中各项系数之和为(3－1)n＝128＝27，故n＝7.则二项式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r×(－x－)r＝(－1)r×37－rCx7－r－r，令7－r＝－3，得r＝6，故展开式中的系数是(－1)6×37－6C＝21.
答案：21
14．解析：由题意可得：直线OP与平面A1BD所成的角α的取值范围是∪，
不妨取AB＝2.在Rt△AOA1中，
sin∠AOA1＝＝＝，
sin∠C1OA1＝sin(π－2∠AOA1)
＝sin 2∠AOA1＝2sin∠AOA1cos∠AOA1＝2××＝>，
所以sin α的取值范围是.
答案：
15．解析：设F(1，0)关于直线y＝x的对称点为(x，y)，则
解得由于椭圆的两个焦点为(－1，0)，(1，0)，
所以2a＝＋＝，a＝，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝－1＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
即＋＝1.
答案：＋＝1
16．解析：由题意可知，在区间[0，a]上存在x1，x2(0 使得f′(x1)＝f′(x2)
＝＝＝a2－a，
因为f(x)＝x3－x2＋a，
所以f′(x)＝x2－2x，
所以方程x2－2x＝a2－a在区间(0，a)上有两个不同的解，
令g(x)＝x2－2x－a2＋a(0 解得 答案：
17．解：(1)两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差s＝
＝2，
乙班的方差s＝
＝，
因为s (2)由题知X可能取0，1，2，
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
Y可能取0，1，2，
P(Y＝0)＝×＝，P(Y＝1)＝×＋×＝，P(Y＝2)＝×＝，
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P



Y的数学期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
18．解：(1)以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设知，B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．
因为＝λ，
所以E(0，3，5λ)．
从而＝(2，0，－5λ)，
＝(2，－3，5－5λ)．
当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1<0，
所以·<0，
即2×2－5λ(5－5λ)<0，
解得<λ<.
即实数λ的取值范围是.
(2)当λ＝时，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．
设平面BEA1的法向量为n1＝(x，y，z)，
由得
取x＝1，得n1＝.
易知平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．
因为cosn1，n2＝＝＝，所以|cos θ|＝.
19．解：(1)Sn＝(a＋an)，
即a＋an－2Sn＝0，①
当n≥2时，Sn－1＝(a＋an－1)，
即a＋an－1－2Sn－1＝0，②
①－②得(an－an－1)(an＋an－1)＋an－an－1－2an＝0，
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
因为an>0，所以an－an－1＝1，
当n＝1时，a＋a1－2a1＝0，因为an>0，
所以a1＝1，所以an＝1＋(n－1)＝n.
(2)存在．理由如下：
由(1)知bn＝，所以Tn＝1×＋2×＋…＋n×，③
Tn＝1×＋2×＋…＋n×，④
③－④得Tn＝1＋＋…＋－n×
＝2－n×，
故Tn＝4－2n＝4－4×－2n＝4－(2n＋4)·.易知Tn<4，
因为Tn＋1－Tn＝4－(2n＋6)－4＋(2n＋4)＝(n＋1)>0，
所以Tn≥T1＝1，
故存在正整数m＝1满足题意．
20．解：(1)依题意设M(m，0)，N(4，n)，
T(x，y)，其中0≤m≤4，0≤n≤3，
因为P(0，－3)，R(0，3)，
所以由∥得，3x－m(y＋3)＝0，
所以3m＝.①
由∥得(n－3)x－4(y－3)＝0，
所以4(n－3)＝，②
因为|OM|·|NQ|＝|MQ|·|CN|，
所以mn＝(4－m)(3－n)，
即3m＋4n＝12，所以3m＋4(n－3)＝0.③
将①②代入③得＋＝0，
即＋＝1(0≤x≤4，0≤y≤3)．
它是中心在坐标原点、焦点在x轴上，长轴长为8，短轴长为6的椭圆(在第一象限的部分曲线)．
(2)当M为OQ的中点时，m＝2，n＝.
直线PM：3x－2y－6＝0，
直线RN：3x＋8y－24＝0，
联立两式解得T(3.2，1.8)，
所以S△TPR＝×6×3.2＝9.6.
21．解：(1)g′(x)＝2x－(1－a)－
＝，
因为g(x)的定义域为{x|x＞0}，且g(x)在其定义域内为增函数，
所以g′(x)≥0在x＞0时恒成立，
则2x2－(1－a)x－(2－a)≥0在x＞0时恒成立，
所以a≥5－在x＞0时恒成立．
而当x＞0时，2(x＋1)＋＞3.
所以a∈[2，＋∞)．
(2)不能．理由如下：
假设F(x)的图象在(x0，F(x0))处的切线平行于x轴，F(x)＝2ln x－x2－ax，F′(x)＝－2x－a，
不妨设A(m，0)，B(n，0)，0＜m＜n，
则
①－②得2ln－(m＋n)(m－n)＝a(m－n)，
所以a＝－2x0，
由④得a＝－2x0，
所以ln＝＝，⑤
设t＝∈(0，1)，⑤式可变为ln t－＝0(t∈(0，1))．
设h(t)＝ln t－，h′(t)＝－＝＝＞0(t∈(0，1))．
所以函数h(t)＝ln t－在(0，1)上单调递增，因此h(t)＜h(1)＝0，
也就是ln ＜，此式与⑤矛盾．
所以F(x)的图象在点(x0，F(x0))处的切线不能平行于x轴．
22．解：(1)C1的

直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
C2的直角坐标方程为x＝3.
(2)设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，
因为PQ⊥OP，所以PQ过点A(2，0)，
设直线PQ的参数方程为
(t为参数)，
代入C1可得t2＋2tcos θ＝0，
解得t1＝0，t2＝－2cos θ，
可知|AP|＝|t2|＝|2cos θ|，
代入C2可得2＋tcos θ＝3，解得t＝，
可知|AQ|＝|t|＝，
所以|PQ|＝|AP|＋|AQ|＝|2cos θ|＋≥2，当且仅当|2cos θ|＝时取等号，
所以线段PQ长度的最小值为2.
23．解：(1)当a＝4时，|x－1|＋|x－a|≥5等价于
或或
解得x≤0或 x≥5，
所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．
(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|.
所以f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)≥4对a∈R恒成立，则|a－1|≥4即可，所以a≤－3或a≥5，
即实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥5}．