全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷十五理含解析

这是一份全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷十五理含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考仿真模拟卷(十五)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|y＝lg(x＋1)}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁RA)∩B＝(　　)
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1，0，1} D．{0，1}
2．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为(　　)

A．13 B．12
C．11.52 D.
4．已知p：函数f(x)＝(x－a)2在(－∞，1)上是减函数，q：∀x>0，a≤恒成立，则綈p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，已知AC＝，BC＝2，B＝，则边AC上的高为(　　)
A. B.
C. D.
6．形状如图所示的2个游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是(　　)

A. B.
C. D.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝18，则判断框内应填入的条件是(　　)

A．k>2? B．k>3?
C．k>4? D．k>5?
8．已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，2＝＋且||＝||，则向量在向量方向上的投影为(　　)
A. B.
C．－ D．－
9．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝(　　)
A．－ B.
C．1 D.
　
第9题图　　　　　　第10题图
10．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为(　　)
A. B．7
C. D.
11．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，若方程f(－x)＋f(x)＝0有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，e) B．(e，＋∞)
C．(0，2e) D．(2e，＋∞)
12．已知O为坐标原点，双曲线C：－y2＝1(a>0)上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A、B，若平行四边形 OAPB 的面积为1，则双曲线C的离心率为 (　　)
A. B.
C．2 D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案













第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．一个盒子里装有3个分别标有号码1，2，3的彩色小球，魔术师每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子里，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有________种．
14．平均数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 019，则该数列的首项为__________．
15．过点(0，3b)的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是__________．
16．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数ω>0，使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“条件约束函数”．现给出下列函数：
①f(x)＝4x；②f(x)＝x2＋2；③f(x)＝；
④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．





18．(本小题满分12分)如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，PC＝2.
(1)试确定点F的位置，使得EF∥平面PDC；
(2)若BF＝BP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值．





19．(本小题满分12分)某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：
期末分数段
(0，60)
[60，75)
[75，90)
[90，105)
[105，120)
[120，150]
人数
5
10
15
10
5
5
“过关”
人数
1
2
9
7
3
4
(1)由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”有关？说明你的理由；

分数低于90分人数
分数不低于90分人数
总计
“过关”人数



“不过关”人数



总计



(2)在期末分数段[105，120)的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
K2＝.








20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)记函数F(x)＝x2－x·f(x)，求函数F(x)的最大值；
(2)记函数H(x)＝若对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)＝k成立，求实数s的取值集合．








21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分别为F1，F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．







请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，试判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|＋的最小值为2.
(1)求实数a的值；
(2)若a>0，求不等式f(x)≤4的解集．


























高考仿真模拟卷(十五)
1．解析：选A.A＝{x|x＞－1}，∁RA＝{x|x≤－1}，所以∁RA∩B＝{－2，－1}．选A.
2．解析：选B.由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－，
所以＝－＋，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.
3．解析：选D.由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋×4＝，选项D正确．
4．解析：选A.由f(x)＝(x－a)2在(－∞，1)上单调递减得a≥1，由x>0，得＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，所以a≤2，所以綈p是q的充分不必要条件．
5．解析：选B.由余弦定理可得，AC2＝BC2＋AB2－2BC×AB×cos B，即()2＝22＋AB2－2×2×ABcos ，整理得AB2＋2AB－15＝0，解得AB＝3或AB＝－5(舍去)．设边AC上的高为h，则S△ABC＝BC×AB×sin B＝AC×h，即×2×3sin＝××h，解得h＝.
6．解析：选A.一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1，A2，
由题意知，A1，A2相互独立，
且P(A1)＝＝，P(A2)＝，
所以一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率为P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝.
故选A.
7．解析：选B.第一次运行：k＝2，S＝0＋2＝2；第二次运行：k＝3，S＝2×2＋3＝7；第三次运行：k＝4，S＝2×7＋4＝18，此时输出结果，满足条件．结合选项可知应填“k>3？”．
8．解析：选A.因为＋＝2，所以点O为BC的中点，因为O是三角形的外心，所以△ABC是直角三角形， 且A是直角，OA＝BO，因为||＝||，所以△ABO是正三角形，所以在方向上的投影等于||·cos 60°＝.
9．解析：选A.由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，
所以f(1)＝－.
10．解析：选B.该几何体为如图所示的几何体EFB1C1­ABCD，是从棱长为2的正方体中截去两个三棱锥后的剩余部分，其体积V＝VA1B1C1D1­ABCD－VA­A1EF－VD­D1EC1＝23－××1×1×2－××1×2×2＝7，故选B.
11．解析：选D.因为函数F(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数，F(0)≠0，所以零点成对出现，依题意，方程f(－x)＋f(x)＝0有两个不同的正根，又当x＞0时，f(－x)＝ex－mx＋，所以方程可以化为：ex－mx＋＋xex－ex＝0，即xex＝m，
记g(x)＝xex(x＞0)，g′(x)＝ex(x＋1)＞0，设直线y＝m与g(x)的图象相切时的切点为(t，tet)，则切线方程为y－tet＝et(t＋1)(x－t)，过点，所以－tet＝et(t＋1)⇒t＝1或－(舍弃)，所以切线的斜率为2e，由图象可以得m＞2e.选D.

12．解析：选D.渐近线方程是x±ay＝0，
设P(m，n)，过点P且平行于x＋ay＝0的直线为l，
则l的方程为x＋ay－m－an＝0，
设l与渐近线x－ay＝0的交点为A，
则A，
|OA|＝，P点到OA的距离是d＝.
因为|OA|·d＝1，
所以··＝1，因为－n2＝1，所以a＝2.故选D.
13．解析：取得小球标号最大值是3的取法可分三类：①有一次取到3号球，有C×2×2＝12(种)取法；②有两次取到3号球，有C×2＝6(种)取法；③三次都取到3号球，有1种取法，所以共有12＋6＋1＝19(种)取法．
答案：19
14．解析：设该等差数列首项为a，
由题意和等差数列的性质可得2 019＋a＝1 010×2，解得a＝1.故答案为1.
答案：1
15．解析：根据题意知，直线l的斜率为，所以直线l的方程为y＝x＋3b，因为双曲线右支上的点到直线l的距离恒大于b，所以直线y＝x＋3b与直线y＝x的距离大于等于b，即≥b，所以≤3，即e≤3，所以双曲线的离心率的最大值为3.
答案：3
16．解析：对于①，f(x)＝4x，易知ω＝4符合题意，故①是“条件约束函数”；对于②，当x≠0时，＝，显然当x趋于无穷大时，趋于无穷大，这时ω不存在，因此②不是“条件约束函数”；对于③，|f(x)|＝≤|x|，所以存在常数ω＝，使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立，故③是“条件约束函数”；对于④，令x1＝x，x2＝－x，则|f(x1)－f(x2)|＝|f(x)－f(－x)|＝|2f(x)|≤4|2x|，即|f(x)|≤4|x|，故存在ω＝4，使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立．因此④是“条件约束函数”．综上可知①③④是“条件约束函数”．
答案：①③④
17．解：m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋×cos＋
＝sin＋.
(1)因为m·n＝1，
所以sin＝，
所以cos
＝1－2sin2＝，
所以cos＝－cos
＝－.
(2)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得
(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，
所以2sin Acos B＝sin(B＋C)．
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A，
且sin A≠0，
所以cos B＝，B＝.所以0 所以<＋<，
又因为f(x)＝m·n
＝sin＋，
所以f(A)＝sin＋，
故1 故函数f(A)的取值范围是.
18．解：(1)取线段BP的中点F，取PC的中点O，连接FO，DO，
因为F，O分别为BP，PC的中点，
所以FO綊BC.
因为四边形ABCD为平行四边形，ED∥BC，且DE＝BC，
所以FO∥ED且ED＝FO，
所以四边形EFOD是平行四边形，
所以EF∥DO.
因为EF⊄平面PDC，DO⊂平面PDC，所以EF∥平面PDC.
(2)以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系．在△PDC中，由PD＝4，PC＝2，∠CDP＝120°，及余弦定理，得CD＝2，
则D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(2，0，3)，P(－2，2，0)，A(0，0，3)，
设F(x，y，z)，
则＝(x－2，y，z－3)
＝＝，
所以F.
＝.
设平面PBC的法向量n1＝(a，b，c)，＝(0，0，3)，＝(4，－2，0)，
由，得，
令y＝1，可得n1＝.
cos〈，n1〉＝＝，
所以直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.
19．解：(1)依题意得2×2列联表如下：

分数低于90分人数
分数不低于90分人数
总计
“过关”人数
12
14
26
“不过关”人数
18
6
24
总计
30
20
50
K2＝＝≈4.327>3.841，
因此有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”有关．
(2)在期末分数段[105，120)的5人中，有3人测试“过关”，随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数X的可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
X的分布列为
X
1
2
3
P



E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝1.8.
20．解：(1)由题意可知，F(x)＝x2－ln x，F′(x)＝2x－，x∈，
令F′(x)＝0，得x＝.
因为F＝＋ln 2，F(2)＝4－ln 2，F＝，
且F(2)>F，F(2)>F，
所以当x＝2时，函数F(x)取得最大值，最大值为4－ln 2.
(2)因为对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)＝k成立，
所以函数H(x)的值域为R，
函数y＝在[s，＋∞)上单调递增，其值域为.
函数y＝f(x)＝，y′＝.当x＝e时，y′＝0.
当x>e时，y′<0，函数y＝在[e，＋∞)上单调递减，
当00，函数y＝在(0，e)上单调递增．
①若s>e，则函数y＝在(0，e)上单调递增，在(e，s)上单调递减，其值域为，又>，不符合题意．
②若0 令u(s)＝s2－2eln s，u′(s)＝2s－＝，
当s>时，u′(s)>0，u(s)在(，e)上单调递增；
当0 所以当s＝时，u(s)有最小值u()＝0，从而u(s)≥0恒成立(当且仅当s＝时，u(s)＝0)．
故u(s)＝0，所以s＝.
综上所述，实数s的取值集合为{}．
21．解：(1)由＝，得a＝2c，
所以a2＝4c2，b2＝3c2，
将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为x＝ty－1，代入椭圆方程得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然判别式大于0恒成立，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，
所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2
＝|F1F2|·|y1－y2|
＝|F1F2|·
＝，
而S△AF2B＝|AB|r0＋|BF2|r0＋|AF2|r0
＝r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)
＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)
＝r0·4a＝×8×＝，
所以＝，解得t2＝1，
因为所求圆与直线l相切，
所以半径r＝＝，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
22．解：(1)将点P的极坐标化为直角坐标为P(0，4)，
因为P(0，4)满足方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)法一：因为点Q是曲线C上的点，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，
所以点Q到直线l的距离
d＝
＝，
所以当cos＝－1时，d取得最小值，且dmin＝.
法二：曲线C的普通方程为＋y2＝1，
平移直线l到l′，使l′与曲线C相切，
设l′：x－y＋m＝0，
由得x2＋3(x＋m)2＝3，
即4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
由Δ＝36m2－48(m2－1)＝48－12m2＝0，解得m＝±2，
所以当m＝2时，曲线C上的点Q到直线l的距离最小，且最小值d＝＝.
23．解：(1)当a≥－2时，f(x)＝
所以f(x)min＝1＋＝2，a＝2.
当a<－2时，f(x)＝
所以f(x)min＝－－1＝2，a＝－6.
综上可知a＝2或a＝－6.
(2)由(1)知，当a>0时a＝2.不等式f(x)≤4，
即|x－2|＋|x＋2|≤4.
由(1)知f(x)＝，
当x>2时，由x－1≤4，得x≤，
所以2 当－2≤x≤2时，由－x＋3≤4，
得x≥－2，所以－2≤x≤2；
当x<－2时，由－x＋1≤4，
得x≥－2，无解．
所以不等式的解集为.