全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷四理含解析

这是一份全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷四理含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考仿真模拟卷(四)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝(　　)
A．{1} B．{1，2}
C．{2} D．[1，2]
2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝(　　)
A．25 B.
C．5 D．17
3．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：
中学
A
B
C
D
人数
40
30
10
20
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况，采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为(　　)
A．15，20，10，5 B．15，20，5，10
C．20，15，10，5 D．20，15，5，10
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{Sn}单调递减”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
6．设a＝log3，b＝，c＝，则(　　)
A．a C．c 7．若非零向量a、b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则a在b方向上的投影为(　　)
A．4 B．8
C. D.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是(　　)

A．18 B．50
C．78 D．306
9．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为(　　)
A. B．2
C. D．4
10．P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为(　　)
A. B.
C. D.
11．已知F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝(　　)
A. B.
C. D.
12．已知函数f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12(a<0)，且f(a2－4)＝f(2a－8)，则(n∈N*)的最小值为(　　)
A. B.
C. D.


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案














第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知函数f(x)＝tan x＋sin x＋2 017，若f(m)＝2，则f(－m)＝________.
14．已知x，y满足不等式组若z＝x＋ay的最小值为4，则实数a的值为________．
15．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1，则数列bn＝a－7an＋6的最小值为________．
16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos x(2sin x＋cos x)－sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．








18．(本小题满分12分)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．
(1)求ξ的分布列和数学期望；
(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．







19．(本小题满分12分)如图1，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥底面AEFB，G是EF的中点，如图2.

(1)求证：AG⊥平面BCE；
(2)求二面角CAEF的余弦值．













20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ex，h(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a＝1，b＝c＝0，求函数F(x)＝f(x)h(x)的单调区间；
(2)若a＝c＝0，b>0，且G(x)＝g(x)－h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立，求mb的最大值．





21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为.
(1)若N，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；
(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．












请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)；
(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1，3]，求a的取值范围．


























高考仿真模拟卷(四)
1．解析：选B.因为M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，所以M∩N＝{1，2}．故选B.
2．解析：选C.由(z－1)i＝4＋2i，得z－1＝＝2－4i，所以z＝3－4i，所以|z|＝5.
3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为＝.所以应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.
4．解析：选C.因为a5＝a2q3＜0，a2＜0，所以q＞0，所以an＜0恒成立，所以Sn－Sn－1＝an＜0，{Sn}单调递减，故为充分条件；Sn－Sn－1＝an＜0⇒a2＜0，a5＜0，故为必要条件．故选C.
5．解析：选B.依题意得cos C＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于absin C＝××＝.
6．解析：选A.因为a＝log31，所以a 7．解析：选A.由(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，得a·b＝＝＝8，从而a在b方向上的投影为＝＝4，故选A.
8．解析：选C.第一次循环S＝2，n＝2，第二次循环S＝6，n＝3，第三次循环S＝2，n＝4，第四次循环S＝18，n＝5，第五次循环S＝14，n＝6，第六次循环S＝78，n＝7，需满足S≥K，此时输出n＝7，所以18 9．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a，b，c，
由题意得，解得.
再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2.
故选B.
10．解析：选B.设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0，2y－y0)代入x2＋y2＝9，
得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，
化简得：＋＝，
又x＋y＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，
故易知M的轨迹是在以为圆心，以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，
那么在C2内部任取一点落在M内的概率为＝＝.故选B.

11．解析：选A.由题意得，F(c，0)，该双曲线的一条渐近线为y＝－x，将x＝c代入y＝－x得y＝－，
所以＝2a，即bc＝2a2，所以4a4＝b2c2＝c2(c2－a2)，所以e4－e2－4＝0，解得e2＝，故选A.
12．解析：选A.二次函数f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12图象的对称轴为直线x＝－，由f(a2－4)＝f(2a－8)及二次函数的图象，可以得出＝－，解得a＝－4或a＝1，又a<0，所以a＝－4，所以f(x)＝x2＋4x，所以＝＝＝n＋1＋＋2≥2＋2＝2＋2，又n∈N*，所以当且仅当n＋1＝，即n＝－1时等号成立，当n＝2时，＝，n＝3时，＝＋2＝<，所以最小值为，故选A.
13．解析：因为函数f(x)＝tan x＋sin x＋2 017，所以f(－x)＝－tan x－sin x＋2 017，从而f(－x)＋f(x)＝4 034，又f(m)＝2，所以f(－m)＝4 032.
答案：4 032
14．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z＝x＋ay在点C(2，1)处取得最小值，则2＋a＝4，a＝2，此时y＝－x＋z，其在点C(2，1)处取得最小值，符合题意．假设z＝x＋ay在点B(2，5)处取得最小值，则2＋5a＝4，a＝，此时y＝－x＋z，其在点C处取得最小值，不符合题意．假设z＝x＋ay在点A(8，－1)处取得最小值，则8－a＝4，a＝4，此时y＝－x＋z，其在点A处取得最小值，符合题意．所以a的值为2或4.
答案：2或4
15．解析：由Sn＝2n－1，得a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1，a1＝1适合上式，所以an＝2n－1.
则bn＝a－7an＋6＝－.
所以当n＝3时(bn)min＝－＝－6.
故答案为－6.
答案：－6
16．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，
此时球直径2R等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R＝＝6，球形容器的表面积为4πR2＝36π.
答案：36π
17．解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x＝sin 2x＋cos 2x
＝2
＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max.因为x∈，
所以2x＋∈，
故当2x＋＝，
即x＝时，f(x)取得最大值，且最大值为f＝2.从而可得m≤2 .
18．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝10)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝20)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝30)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
10
20
30
P




所以E(ξ)＝0×＋10×＋20×＋30×＝.
(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B，则A，B互斥．
又P(A)＝×＝，
P(B)＝C××＝，
故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＝.
19．解：(1)证明：连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB，所以BC⊥AG，因为AB＝EF，且AB∥EF，所以AB綊EG，因为AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE.
(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，
设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，－2，0)，F(4，2，0)，C(0，2，4)，D(－2，0，4)，所以＝(2，2，4)，＝(2，－2，0)，
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令y＝1，则x＝，z＝－，
即平面ACE的一个法向量为n＝(，1，－)，易知平面AEF的一个法向量为＝(0，0，4)，设二面角C­AE­F的大小为θ，由图易知θ∈，
所以cos θ＝＝＝.
20．解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)h(x)＝x2ln x，F′(x)＝2xln x＋x(x>0)．
令F′(x)>0，得x>，故F(x)的单调递增区间为；
令F′(x)<0，得0 (2)由题意知，G(x)＝ex－bx，故G′(x)＝ex－b，
又b>0，令G′(x)＝ex－b＝0，得x＝ln b，
故当x∈(－∞，ln b)时，G′(x)<0，此时G(x)单调递减；当x∈(ln b，＋∞)时，G′(x)>0，此时G(x)单调递增．
故G(x)min＝b－bln b，所以m≤b－bln b，则mb≤b2－b2ln b.
设r(b)＝b2－b2ln b(b>0)，则r′(b)＝2b－(2bln b＋b)＝b－2bln b，
由于b>0，令r′(b)＝0，得ln b＝，b＝，当b∈(0，)时，r′(b)>0，r(b)单调递增；当b∈(，＋∞)时，r′(b)<0，r(b)单调递减，所以r(b)max＝，即当b＝，m＝时，mb取得最大值.
21．解：(1)因为点P(2，t)到焦点F的距离为，所以2＋＝，解得p＝1，
故抛物线C的方程为y2＝2x，P(2，2)，
所以l1的方程为y＝x＋，
联立得
可解得xQ＝，
又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，
所以＝＝.
(2)设直线l2的方程为x＝ny＋m(m≠0)，代入抛物线方程可得y2－2ny－2m＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，①
由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0，
整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，②
将①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，满足Δ＝4n2＋8m>0，
所以直线l2：x＝ny＋2，
因为圆心M(a，0)到直线l2的距离d＝，
所以|DE|＝2 ，
显然当a＝2时，|DE|＝2，所以存在实数a＝2，使得|DE|为定值．
22．解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.
由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos(θ－)＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
作图如图所示．
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，
得M的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，
所以点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.
23．解：(1)由于a＝1，故f(x)＝
当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤；
当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.
综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为∪[3，＋∞)．
(2)当a<2时，
g(x)＝
g(x)的值域A＝[a－2，2－a]，
由A⊆[－1，3]，得
解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；
当a≥2时，g(x)＝2 g(x)的值域A＝[2－a，a－2]，
由A⊆[－1，3]，得
解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.
综上，a的取值范围为[1，3]．