2020届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2020届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

分值：150分 时间：120分钟
一、选择题（每小题5分，每题只有一个正确选项）
1．已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|1≤x≤2}C．{1，2，3}D．{1，2}
2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，则z＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
3．命题“∃α∈R，sinα＝0”的否定是（ ）
A．∃α∈R，sinα≠0B．∀α∈R，sinα≠0
C．∀α∈R，sinα＜0D．∀α∈R，sinα＞0
4．下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝
C．y＝﹣D．y＝
5．已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），（+k）•＝3，则k＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
6．在等差数列{an}中，是方程x2+6x+2＝0的两个实根，则＝（ ）
A． B．﹣3C．﹣6D．2
7．将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（ ）
A． B．C． D．
8.已知双曲线（a＞0）的一条渐近线为y＝，则双曲线的焦点坐标为（ ）
A．（±，0）B．（±，0）C．（0，±）D．（0，±）
9．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，
则可输入的实数x的值的个数为（ )
A．1 B．2C．3 D．4
10.某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
1
11.函数y＝的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f´（x），并且当x＞0时，有
2f（x）+xf´（x）＞0，且 f（﹣1）＝0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）
13．已知函数f（x）＝，则f[f（2）]＝ ．
14．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是________.
15．点A，B，C，D均在同一球面上，AD⊥平面ABC，其中△ABC是边长为3的等边三角形，AD＝2AB，则该球的表面积为 ．
16．已知数列{an}的前n项和Sn满足，Sn＝3an﹣2，数列{nan}的前n项和为Tn，则满足Tn＞100的最小的n值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcs C＝(2a－c)cs B，
(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)若b＝，a＋c＝4，求a,c的值.
18．在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如下图所示．
（Ⅰ）估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1；
（Ⅱ）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？
附：
x2＝
19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AD＝2AB＝2BC＝2，点M在棱PC上．
（Ⅰ）求证：AM⊥CD；
（Ⅱ）当AM⊥平面PCD时，求三棱锥M﹣PAD的体积．
20．已知椭圆C：+＝1（a＜b＜0）的离心率为，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作两条直线，分别交椭圆C于A， B两点（异于N），当直线NA，NB的斜率之和为4时，直线AB恒过定点，求出定点的坐标．
21．已知函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a＝1且x＞0时，f（x）＞mln（x+1），求m的取值范围．
22.已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线经过定点P（2，3），倾斜角为．
（1）写出直线的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线与圆相交于A，B两点，求｜PA｜·｜PB｜的值．
高三文科数学参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|1≤x≤2}C．{1，2，3}D．{1，2}
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}；
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，则z＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）×2i，化为2z＝2（i+1），∴z＝1+i．
故选：B．
3．命题“∃α∈R，sinα＝0”的否定是（ ）
A．∃α∈R，sinα≠0B．∀α∈R，sinα≠0
C．∀α∈R，sinα＜0D．∀α∈R，sinα＞0
【解答】解：特称命题的否定是全称命题，
∴∃α∈R，sinα＝0的否定为：∀α∈R，sinα≠0，
故选：B．
4．下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝|x|
C．y＝﹣x3D．y＝ln（+x）
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sinx，为正弦函数，在（﹣∞，+∞）上不是单调函数，不符合题意；
对于B，y＝|x|，为偶函数，不符合题意；
对于C，y＝﹣x3，是奇函数但在（﹣∞，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于D，y＝lnx（+x），既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：D．
5．已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），（+k）•＝3，则k＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【解答】解：因为＝（2，﹣1），＝（0，1），
所以（+k）•＝+k2＝﹣1+k＝3，
解得k＝4，
故选：D．
6．在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2+6x+2＝0的两个实根，则＝（ ）
A．B．﹣3C．﹣6D．2
【解答】解：∵a2，a14是方程x2+6x+2＝0的两个实根，
∴a2+a14＝﹣6，a2a14＝2，
由等差数列的性质可知，a2+a4＝2a8＝﹣6，
∴a8＝﹣3
则＝，
故选：A．
7．将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组，共有＝3种方法，甲、乙两名同学分在同一小组，共有1种方法
所以甲、乙两名同学分在同一小组的概率为
故选：C．
8．已知双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝，则双曲线的焦点坐标为（ ）
A．（±，0）B．（±，0）C．（0，±）D．（0，±）
【解答】解：双曲线（a＞0）的渐近线方程为y＝±x，
由题意可得＝，即有a＝2，
则双曲线的b＝，c＝＝，
即有双曲线的焦点为（0，±），
故选：D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据题意，该框图的含义是
当x≤2时，得到函数y＝x2﹣1；当x＞2时，得到函数y＝lg2x．
因此，若输出结果为3时，
①若x≤2，得x2﹣1＝3，解之得x＝±2
②当x＞2时，得y＝lg2x＝3，得x＝8
因此，可输入的实数x值可能是2，﹣2或8，共3个数．
故选：C．
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积S＝×1×1＝，
高为1，
故棱锥的体积V＝＝，
故选：A．
11．函数y＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，y＝，其定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；
当x＞0时，e﹣x＞0，则有ln（ex+e﹣x）＞ln（ex）＝x，必有＞1，排除A；
故选：C．
12．已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）＞0，且f（﹣1）＝0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＞0可知：两边同乘以x得：
2xf（x）+x2f′（x）＞0，设：g（x）＝x2f（x），
则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＞0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，定义在R上的偶函数f（x），f（﹣1）＝0，可得f（1）＝0，
函数f（x）的图象如图：
当x＞0；f（x）＞0成立的x的取值范围是：x＞1，
当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1，
综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：B．
13．已知函数f（x）＝，则f[f（2）]＝ ．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（2）＝2﹣2＝，
f[f（2）]＝f（）＝＝．
故答案为：．
14．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是
【解答】解：由z＝2x﹣3y得y＝，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y＝，由图象可知当直线y＝，过点A时，直线y＝截距最大，此时z最小，
由得，即A（3，4），
代入目标函数z＝2x﹣3y，
得z＝2×3﹣3×4＝6﹣12＝﹣6．
∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值是﹣6．
15．点A，B，C，D均在同一球面上，AD⊥平面ABC，其中△ABC是等边三角形，AD＝2AB＝6，则该球的表面积为 48π ．
【解答】解：如图，O′为底面的中心，OO′⊥底面ABC，
E为AD中点，且OE⊥AD，
在正三角形ABC中，由AB＝3求得，
又OO′＝AE＝3，
∴OA＝2，
∴S球＝4π×12＝48π，
故答案为：48π．
16．已知数列{an}的前n项和Sn满足，Sn＝3an﹣2，数列{nan}的前n项和为Tn，则满足Tn＞100的最小的n值为 7 ．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足Sn＝3an﹣2，①
当n≥2时，有Sn﹣1＝3an﹣1﹣2，②，
①﹣②可得：an＝3an﹣3an﹣1，变形可得2an＝3an﹣1，
当n＝1时，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，
则数列{an}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则an＝（）n﹣1，
数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn＝1+2×+3×（）2+……+n×（）n﹣1，③
则有Tn＝+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④
③﹣④可得：﹣Tn＝1+（）+（）2+……×（）n﹣1﹣n×（）n＝﹣2（1﹣）﹣n×（）n，
变形可得：Tn＝4+（2n﹣4）×（）n，
若Tn＞100，即4+（2n﹣4）×（）n＞100，
分析可得：n≥7，故满足Tn＞100的最小的n值为7；
故答案为：7．
17. （1）sinBcs C＝(2sinA－sinc)cs B
sin(B+C)=2sinAcsB
csB=，B=。
（2）a=3,c=1或a=1,c=3。
18．在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示．
（Ⅰ）估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1；
（Ⅱ）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？
附：
x2＝
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图易知：
0.01×10+0.015×10+0.02×10＝0.45；
即分数在[40，70）的频率为：0.45，
所以0.03×（x0﹣70）＝0.5﹣0.45，
解得：x0＝≈71.7；
∴40名学生的测验成绩的中位数为71.7；
（Ⅱ）由频率分布直方图，可得列联表如下：
X2＝＝≈0.135＜3.841；
所以没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关．
19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AD＝2AB＝2BC＝2，点M在棱PC上．
（Ⅰ）求证：AM⊥CD；
（Ⅱ）当AM⊥平面PCD时，求三棱锥M﹣PAD的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）设AD中点为E，连接AC、CE，由题意AE＝BC，
∵AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形．
又AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴ABCE为正方形．
在Rt△CDE中，CD＝，又AC＝，AD＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，∴CD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．
∵AM⊂平面PAC，∴AM⊥CD．
解（Ⅱ）由已知AM⊥平面PCD，∴AM⊥PC．
∵AC＝，PC＝，，
∴AM＝，PM＝，∴PM＝，
C到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，
所以三棱锥M﹣PAD的高h＝＝，
∴三棱锥M﹣PAD的体积VM﹣PAD＝＝．
20．已知椭圆C：+＝1（a＜b＜0）的离心率为，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（异于N），当直线NA，NB的斜率之和为4时，直线AB恒过定点，求出定点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，2b＝4，a2﹣c2＝b2．
解得a＝2，b＝c＝2，所以椭圆方程为．
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由由kNA+kNB＝4，得，
整理可得2kx1x2+（m﹣2）（x1+x2）＝4x1x2（*）
联立，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，由题意知二次方程有两个不等实根，
∴，．
代入（*）得，整理得整理可得（m﹣2）（k﹣m﹣2）＝0，．
∵∵m≠2，∴m＝k﹣2，∴y＝kx+k﹣2，y+2＝k（x+1），所以直线AB恒过定点（﹣1，﹣2）．
当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，A（x0，y1），B（x0，y2），其中y2＝﹣y1，∴y1+y2＝0，
由kNA+kNB＝t，得，∴∴x0＝﹣1．
∴当直线AB的斜率不存在时，直线AB也过定点（﹣1，﹣2）．
综上所述，直线AB恒过定点（﹣1，﹣2）．
21．已知函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a＝1且x＞0时，f（x）＞mln（x+1），求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝在（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝，即xex﹣ex+a≥0．
设g（x）＝xex﹣ex+a，则g′（x）＝xex＞0，
∴g（x）＞g（0）＝a﹣1，则a﹣1≥0，得a≥1．
（2）当a＝1时，f（x）＞mln（x+1）⇔ex﹣x﹣1＞mxln（x+1）⇔ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1）＞0，
设h（x）＝ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1），则h′（x）＝，
再令H（x）＝，则H′（x）＝．
若m，∵x＞0，∴m（）＜1，则H′（x）＞0，h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
h′（x）＞h′（0）＝0，∴h（x）是增函数，h（x）＞h（0）＝0，可得f（x）＞mln（x+1）成立；
若m＞，H′（x）＝在（0，+∞）上单调递增，H′（0）＝1﹣2m＜0，
H′（ln（2m））＝2m﹣＝＞0．
∴存在x0∈（0，ln（2m））使得H′（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，H′（x）＜0，
∴h（x）在（0，x0）上单调递减，可得h（x）＜h（0）＝0，即f（x）＞mln（x+1）不成立．
综上可得，m的取值范围为（﹣∞，]．
22（t为参数），x2+y2=16
(2)3
合格
优秀
合计
男生
16
女生
4
合计
40
P（x2≥k0）
0.050
0010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
合格
优秀
合计
男生
16
女生
4
合计
40
P（x2≥k0）
0.050
0010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
合格
优秀
合计
男生
16
6
22
女生
14
4
18
合计
30
10
40