【数学】黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）
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高二下学期期末考试（文）
共150分，考试时间120分钟。
一、选择题(共12小题,共60分)
1.集合A＝{x∈Z|－2<x<3}的元素个数为( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2.集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B等于( )
A． {(－1,1)，(2,4)} B． {(－1,1)}
C． {(2,4)} D． ∅
3.若集合A＝{x|x＝m＋，m∈Z}，B＝{x|x＝－，n∈Z}，C＝{x|x＝＋，p∈Z}，则A，B，C之间的关系是( )
A．A＝B＝C B．AB＝C C．ABC D．BCA
4.函数y＝的定义域为( )
A． (－∞，1) B． (－∞，0)∪(0,1]
C． (－∞，0)∪(0,1) D． [1，＋∞)
5.已知函数f(n)＝则f(5)的值是( )
A． 4 B． 48 C． 240 D． 1 440
6.设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A． 1 B． 0 C． 2 D． －1
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
8.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
9.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A． B． 2 C． 0 D． 1
10.复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A．x＝－ B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2 D．x≠1且x≠－2
11.已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“a<b”的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
12.命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )
A． ∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B． ∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C． ∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D． ∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
二、填空题(共4小题,共20分)
13.若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.
14.已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
15.直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB中点，则椭圆的离心率为________．
16.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
三、解答题(共6小题,共72分)
17.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|CD|.
18.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
19.从一批草莓中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
(1)根据频数分布表计算草莓的重量在[90,95)的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)从(2)中抽出的5个草莓中任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
20.已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
21.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4，0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
22.已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
参考答案
1.D 2.D 3.B 4.B 5.C
6.C 7.C 8.D 9.D 10.D
11.A 12.D
13.0或1 14.{(0,1)，(－1,2)}
15. 16. 0或1
17.解 (1)由题意，b＝1，＝，a2＝b2＋c2，
联立解得a＝，c＝1，
可得椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
18.解 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
∴
解得－<k<且k≠±1.
∴当双曲线C与直线l有两个不同的交点时，
k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l与y轴交于点D(0，－1)．
由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
∴
当A，B在双曲线上的一支上且|x1|>|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD
＝(|x1|－|x2|)
＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD
＝(|x1|＋|x2|)
＝|x1－x2|.
∴S△OAB＝|x1－x2|＝，
∴(x1－x2)2＝(2)2，
即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
又∵－<k<且k≠±1，
∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.
19.(1)重量在[90,95)的频率＝＝0.4；
(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个，则重量在[80,85)的个数为：×5＝2；
(3)设在[80,85)中抽取的2个草莓为x，y，在[95,100)中抽取的三个草莓分别为a，b，c，从抽出的5个草莓中，任取2个共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(x，y)10种情况，
其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)6种；
设“抽出的5个草莓中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A，则事件A的概率P(A)＝＝.
20.解 (1)当m＝4时，
双曲线方程化为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，
渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，
所以<1＋<2，
解得5<m<10，
所以实数m的取值范围是(5,10)．
21.(1)解 由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为
y＝k(x－4)，
由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，
因为点F到直线l的距离为，
所以＝，
解得k＝±，所以直线l的斜率为±.
(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，
联立方程消去x，得
y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因为N为AB的中点，
所以＝y0，即＝y0，
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
22.(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明 因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
