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    黑龙江省伊春市第二中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

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    这是一份黑龙江省伊春市第二中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    伊春市第二中学2019-2020学年度第一学期期末考试
    高三学年 文科数学试卷
    分值:150分 时间:120分钟
    一、选择题(每小题5分,每题只有一个正确选项)
    1.已知集合A={x|(x+1)(x﹣3)<0},B={1,2,3},则A∩B=(  )
    A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1≤x≤2} C.{1,2,3} D.{1,2}
    2.已知复数z满足(1+i)z=2i,则z=(  )
    A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
    3.命题“∃α∈R,sinα=0”的否定是(  )
    A.∃α∈R,sinα≠0 B.∀α∈R,sinα≠0
    C.∀α∈R,sinα<0 D.∀α∈R,sinα>0
    4.下列函数中,既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增的是(  )
    A.y=sinx B.y=
    C.y=﹣ D.y=
    5.已知向量=(2,﹣1),=(0,1),(+k)•=3,则k=(  )
    A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4
    6.在等差数列{an}中,是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=(  )
    A. B.﹣3 C.﹣6 D.2
    7.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为(  )
    A. B. C. D.
    8.已知双曲线(a>0)的一条渐近线为y=,则双曲线的焦点坐标为(  )
    A.(±,0) B.(±,0) C.(0,±) D.(0,±)
    9.执行如右图所示的程序框图,若输出的结果为3,
    则可输入的实数x的值的个数为(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    10.某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的体积为( )

    A.
    B.
    C.
    D. 1
    11.函数y=的图象大致为(  )
    A.B.C. D.
    12. 已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f´(x),并且当x>0时,有
    2f(x)+xf´(x)>0,且 f(﹣1)=0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()
    A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
    C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
    二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分)
    13.已知函数f(x)=,则f[f(2)]=   .
    14.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是________.
    15.点A,B,C,D均在同一球面上,AD⊥平面ABC,其中△ABC是边长为3的等边三角形,AD=2AB,则该球的表面积为   .
    16.已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为   .
    三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若bcos C=(2a-c)cos B,
    (Ⅰ)求∠B的大小;(Ⅱ)若b=,a+c=4,求a,c的值.

    18.在某次测验中,某班40名考生的成绩满分100分统计如下图所示.
    (Ⅰ)估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1;
    (Ⅱ)记80分以上为优秀,80分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关?

    合格
    优秀
    合计
    男生
    16


    女生

    4

    合计


    40
    P(x2≥k0)
    0.050
    0010
    0.001
    k0
    3.841
    6.635
    10.828
    附:


    x2=






    19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AP=AD=2AB=2BC=2,点M在棱PC上.
    (Ⅰ)求证:AM⊥CD;
    (Ⅱ)当AM⊥平面PCD时,求三棱锥M﹣PAD的体积.

    20.已知椭圆C:+=1(a<b<0)的离心率为,短轴长为4.
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)过点N(0,2)作两条直线,分别交椭圆C于A, B两点(异于N),当直线NA,NB的斜率之和为4时,直线AB恒过定点,求出定点的坐标.

    21.已知函数f(x)=.
    (1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
    (2)当a=1且x>0时,f(x)>mln(x+1),求m的取值范围.

    22.已知在直角坐标系xOy中,圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数),直线经过定点P(2,3),倾斜角为.
    (1)写出直线的参数方程和圆的标准方程;
    (2)设直线与圆相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.

    高三文科数学参考答案与试题解析
    一.选择题(共14小题)
    1.已知集合A={x|(x+1)(x﹣3)<0},B={1,2,3},则A∩B=(  )
    A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1≤x≤2} C.{1,2,3} D.{1,2}
    【解答】解:A={x|﹣1<x<3};
    ∴A∩B={1,2}.
    故选:D.
    2.已知复数z满足(1+i)z=2i,则z=(  )
    A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
    【解答】解:∵复数z满足(1+i)z=2i,∴(1﹣i)(1+i)z=(1﹣i)×2i,化为2z=2(i+1),∴z=1+i.
    故选:B.
    3.命题“∃α∈R,sinα=0”的否定是(  )
    A.∃α∈R,sinα≠0 B.∀α∈R,sinα≠0
    C.∀α∈R,sinα<0 D.∀α∈R,sinα>0
    【解答】解:特称命题的否定是全称命题,
    ∴∃α∈R,sinα=0的否定为:∀α∈R,sinα≠0,
    故选:B.
    4.下列函数中,既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增的是(  )
    A.y=sinx B.y=|x|
    C.y=﹣x3 D.y=ln(+x)
    【解答】解:根据题意,依次分析选项:
    对于A,y=sinx,为正弦函数,在(﹣∞,+∞)上不是单调函数,不符合题意;
    对于B,y=|x|,为偶函数,不符合题意;
    对于C,y=﹣x3,是奇函数但在(﹣∞,+∞)上单调递减,不符合题意;
    对于D,y=lnx(+x),既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增,符合题意;
    故选:D.
    5.已知向量=(2,﹣1),=(0,1),(+k)•=3,则k=(  )
    A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4
    【解答】解:因为=(2,﹣1),=(0,1),
    所以(+k)•=+k2=﹣1+k=3,
    解得k=4,
    故选:D.
    6.在等差数列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=(  )
    A. B.﹣3 C.﹣6 D.2
    【解答】解:∵a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,
    ∴a2+a14=﹣6,a2a14=2,
    由等差数列的性质可知,a2+a4=2a8=﹣6,
    ∴a8=﹣3
    则=,
    故选:A.
    7.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为(  )
    A. B. C. D.
    【解答】解:将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组,共有=3种方法,甲、乙两名同学分在同一小组,共有1种方法
    所以甲、乙两名同学分在同一小组的概率为
    故选:C.
    8.已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=,则双曲线的焦点坐标为(  )
    A.(±,0) B.(±,0) C.(0,±) D.(0,±)
    【解答】解:双曲线(a>0)的渐近线方程为y=±x,
    由题意可得=,即有a=2,
    则双曲线的b=,c==,
    即有双曲线的焦点为(0,±),
    故选:D.

    9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x的值的个数为(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【解答】解:根据题意,该框图的含义是
    当x≤2时,得到函数y=x2﹣1;当x>2时,得到函数y=log2x.
    因此,若输出结果为3时,
    ①若x≤2,得x2﹣1=3,解之得x=±2
    ②当x>2时,得y=log2x=3,得x=8
    因此,可输入的实数x值可能是2,﹣2或8,共3个数.
    故选:C.
    10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )

    A. B. C. D.1
    【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,
    棱锥的底面面积S=×1×1=,
    高为1,
    故棱锥的体积V==,
    故选:A.

    11.函数y=的图象大致为(  )
    A. B.
    C. D.
    【解答】解:根据题意,y=,其定义域为{x|x≠0},
    有f(﹣x)=﹣=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数,排除B、D;
    当x>0时,e﹣x>0,则有ln(ex+e﹣x)>ln(ex)=x,必有>1,排除A;
    故选:C.
    12.已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,有2f(x)+xf'(x)>0,且f(﹣1)=0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )
    A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
    C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
    【解答】解:当x>0时,由2f(x)+xf'(x)>0可知:两边同乘以x得:
    2xf(x)+x2f′(x)>0,设:g(x)=x2f(x),
    则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0,恒成立:
    ∴g(x)在(0,+∞)单调递增,定义在R上的偶函数f(x),f(﹣1)=0,可得f(1)=0,
    函数f(x)的图象如图:
    当x>0;f(x)>0成立的x的取值范围是:x>1,
    当x<0时,函数是偶函数,同理得:x<﹣1,
    综上可知:实数x的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
    故选:B.

    13.已知函数f(x)=,则f[f(2)]=  .
    【解答】解:∵函数f(x)=,
    ∴f(2)=2﹣2=,
    f[f(2)]=f()==.
    故答案为:.
    14.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是

    【解答】解:由z=2x﹣3y得y=,
    作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):
    平移直线y=,由图象可知当直线y=,过点A时,直线y=截距最大,此时z最小,
    由得,即A(3,4),
    代入目标函数z=2x﹣3y,
    得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6.
    ∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6.
    15.点A,B,C,D均在同一球面上,AD⊥平面ABC,其中△ABC是等边三角形,AD=2AB=6,则该球的表面积为 48π .
    【解答】解:如图,O′为底面的中心,OO′⊥底面ABC,
    E为AD中点,且OE⊥AD,
    在正三角形ABC中,由AB=3求得,
    又OO′=AE=3,
    ∴OA=2,
    ∴S球=4π×12=48π,
    故答案为:48π.

    16.已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为 7 .
    【解答】解:根据题意,数列{an}满足Sn=3an﹣2,①
    当n≥2时,有Sn﹣1=3an﹣1﹣2,②,
    ①﹣②可得:an=3an﹣3an﹣1,变形可得2an=3an﹣1,
    当n=1时,有S1=a1=3a1﹣2,解可得a1=1,
    则数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=()n﹣1,
    数列{nan}的前n项和为Tn,则Tn=1+2×+3×()2+……+n×()n﹣1,③
    则有Tn=+2×()2+3×()3+……+n×()n,④
    ③﹣④可得:﹣Tn=1+()+()2+……×()n﹣1﹣n×()n=﹣2(1﹣)﹣n×()n,
    变形可得:Tn=4+(2n﹣4)×()n,
    若Tn>100,即4+(2n﹣4)×()n>100,
    分析可得:n≥7,故满足Tn>100的最小的n值为7;
    故答案为:7.
    17. (1)sinBcos C=(2sinA-sinc)cos B
    sin(B+C)=2sinAcosB
    cosB=,B=。
    (2)a=3,c=1或a=1,c=3。
    18.在某次测验中,某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示.
    (Ⅰ)估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1;
    (Ⅱ)记80分以上为优秀,80分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关?

    合格
    优秀
    合计
    男生
    16


    女生

    4

    合计


    40
    附:
    P(x2≥k0)
    0.050
    0010
    0.001
    k0
    3.841
    6.635
    10.828
    x2=

    【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图易知:
    0.01×10+0.015×10+0.02×10=0.45;
    即分数在[40,70)的频率为:0.45,
    所以0.03×(x0﹣70)=0.5﹣0.45,
    解得:x0=≈71.7;
    ∴40名学生的测验成绩的中位数为71.7;
    (Ⅱ)由频率分布直方图,可得列联表如下:

    合格
    优秀
    合计
    男生
    16
    6
    22
    女生
    14
    4
    18
    合计
    30
    10
    40
    X2==≈0.135<3.841;
    所以没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关.
    19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AP=AD=2AB=2BC=2,点M在棱PC上.
    (Ⅰ)求证:AM⊥CD;
    (Ⅱ)当AM⊥平面PCD时,求三棱锥M﹣PAD的体积.

    【解答】证明:(Ⅰ)设AD中点为E,连接AC、CE,由题意AE=BC,
    ∵AD∥BC,∴四边形ABCE为平行四边形.
    又AB⊥BC,AB=BC=1,∴ABCE为正方形.
    在Rt△CDE中,CD=,又AC=,AD=2,
    ∴AC2+CD2=AD2,∴CD⊥AC.
    ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.
    ∵PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,
    ∴CD⊥平面PAC.
    ∵AM⊂平面PAC,∴AM⊥CD.
    解(Ⅱ)由已知AM⊥平面PCD,∴AM⊥PC.
    ∵AC=,PC=,,
    ∴AM=,PM=,∴PM=,
    C到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离,
    所以三棱锥M﹣PAD的高h==,
    ∴三棱锥M﹣PAD的体积VM﹣PAD==.

    20.已知椭圆C:+=1(a<b<0)的离心率为,短轴长为4.
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)过点N(0,2)作两条直线,分别交椭圆C于A,B两点(异于N),当直线NA,NB的斜率之和为4时,直线AB恒过定点,求出定点的坐标.
    【解答】解:(Ⅰ)由题意知:,2b=4,a2﹣c2=b2.
    解得a=2,b=c=2,所以椭圆方程为.
    (Ⅱ)当直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
    由由kNA+kNB=4,得,
    整理可得2kx1x2+(m﹣2)(x1+x2)=4x1x2(*)
    联立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,由题意知二次方程有两个不等实根,
    ∴,.
    代入(*)得,整理得整理可得(m﹣2)(k﹣m﹣2)=0,.
    ∵∵m≠2,∴m=k﹣2,∴y=kx+k﹣2,y+2=k(x+1),所以直线AB恒过定点(﹣1,﹣2).
    当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,A(x0,y1),B(x0,y2),其中y2=﹣y1,∴y1+y2=0,
    由kNA+kNB=t,得,∴∴x0=﹣1.
    ∴当直线AB的斜率不存在时,直线AB也过定点(﹣1,﹣2).
    综上所述,直线AB恒过定点(﹣1,﹣2).
    21.已知函数f(x)=.
    (1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
    (2)当a=1且x>0时,f(x)>mln(x+1),求m的取值范围.
    【解答】解:(1)∵f(x)=在(0,+∞)上单调递增,
    ∴f′(x)=,即xex﹣ex+a≥0.
    设g(x)=xex﹣ex+a,则g′(x)=xex>0,
    ∴g(x)>g(0)=a﹣1,则a﹣1≥0,得a≥1.
    (2)当a=1时,f(x)>mln(x+1)⇔ex﹣x﹣1>mxln(x+1)⇔ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1)>0,
    设h(x)=ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1),则h′(x)=,
    再令H(x)=,则H′(x)=.
    若m,∵x>0,∴m()<1,则H′(x)>0,h′(x)在(0,+∞)上单调递增,
    h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)是增函数,h(x)>h(0)=0,可得f(x)>mln(x+1)成立;
    若m>,H′(x)=在(0,+∞)上单调递增,H′(0)=1﹣2m<0,
    H′(ln(2m))=2m﹣=>0.
    ∴存在x0∈(0,ln(2m))使得H′(x0)=0,当x∈(0,x0)时,H′(x)<0,
    ∴h(x)在(0,x0)上单调递减,可得h(x)<h(0)=0,即f(x)>mln(x+1)不成立.
    综上可得,m的取值范围为(﹣∞,].
    22(t为参数),x2+y2=16
    (2)3



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