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【数学】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）（解析版）
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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年
高二下学期期末考试（文）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1．复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
2．已知函数f（x）＝sinx，其导函数为，则＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
3．独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到P（K2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（ ）
A．有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系
B．有1%的把握认为变量X与变量Y有关系
C．有0.01%的把握认为变量X与变量Y有关系
D．有99%的把握认为变量X与变量Y有关系
4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
6．执行如图所示的程序框图，若输入N的值为28，则输出N的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（ ）
A．在区间（﹣2，2）上为减函数
B．在x＝﹣2处取得极小值
C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数
D．在x＝0处取得极大值
8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）
A．82.5 B．83 C．93 D．72
10．若函数f（x）＝kex﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（0，+∞） C．（，+∞） D．[0，+∞）
11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．
某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3 B．4 C．6 D．7
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为 .
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 ．
15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为 ．
16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为__________
三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．
18.（本小题满分12分） 设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的极值．
19. （本小题满分12分） 已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．
（1）求不等式的解集；
（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．
20. （本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．
（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．
（i）请将表格补充完整；
短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90
60岁以下
140
合计
300
（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．
21. （本小题满分12分）已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为
D，且直线l与直线OD的斜率之积为．
（1）求C的方程；
（2）设椭圆的左顶点为M，kMA，kMB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．
22. （本小题满分12分）设函数f（x）＝x2+cos2x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【解答】解：∵＝，
∴的实部是0．
故选：D．
2．已知函数f（x）＝sinx，其导函数为f'（x），则f'（）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【解答】解：∵f（x）＝sinx，
∴f′（x）＝cosx，
∴．
故选：C．
3．独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到P（K2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（ ）
A．有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系
B．有1%的把握认为变量X与变量Y有关系
C．有0.01%的把握认为变量X与变量Y有关系
D．有99%的把握认为变量X与变量Y有关系
【解答】解：独立性检验中，P（K2≥3.841）＝0.01表示的意义是
有99%的把握认为变量X与变量Y有关系．
故选：D．
4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
【解答】解：y＝x3﹣x
∴y′＝3x2﹣1，
所以k＝3×12﹣1＝2，
所以切线方程为y＝2（x﹣1），
即2x﹣y﹣2＝0
故选：D．
5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
【解答】解：A选项，甲的滑轮指标为4分，雪地足球指标也为4分，故A错误；
B选项，甲的雪地足球指标为4分，乙的雪地足球指标也为4分，故B错误；
C选项，甲的爬犁速降指标为4分，乙的爬犁速降指标为4分，故C正确，
D选项，乙的俯卧式爬犁指标为5分，甲的雪合战指标为5分，故D错误．
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，若输入N的值为28，则输出N的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：模拟程序的运行，可得
N＝28，不能被3整除，可得：N＝28﹣1＝27；
27能被3整除，；
9能被3整除，，
此时，3≤3，终止循环，输出N＝3．
故选：A．
7．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（ ）
A．在区间（﹣2，2）上为减函数
B．在x＝﹣2处取得极小值
C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数
D．在x＝0处取得极大值
【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减，
故f（x）在x＝﹣2取极小值，在x＝2取极大值，
故选：B．
8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意事件“抽取一个容量为2的样本，某个被抽到”包含了5个基本事件，而总的基本事件数是C62＝15
∴事件“某个个体被抽到的”概率是＝
故选：B．
9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）
A．82.5 B．83 C．93 D．72
【解答】解：将这组数据从小到大排列为72，74，76，81，82，83，86，93，93，99，
则这组数据的中位数是＝82.5．
故选：A．
10．若函数f（x）＝kex﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（0，+∞） C．（，+∞） D．[0，+∞）
【解答】解：f′（x）＝kex﹣x，依题意，kex﹣x≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
令，则，
易知函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴，
∴．
故选：A．
11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．
某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3 B．4 C．6 D．7
【解答】解：第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，
如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，
如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，
如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．
如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．
综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，画出的图象，
如图．直线g（x）＝k（x﹣1）过定点（1，0），
由图象可知，函数g（x）的图象与的图象相切时，
函数f（x），g（x）的图象恰有两个交点．
下面利用导数法求该切线的斜率．
设切点为P（x0，y0），由f'（x）＝x+2，x＜0，
得，化简得，
解得或（舍去），
要使方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，
则函数f（x），g（x）的图象恰有三个交点，
结合图象可知，
所以实数k的取值范围为，
故选：D．
二．填空题
13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
A．12 B．13 C．03 D．40
【解答】解：从随机数表第1行第5列开始，向右读取，
依次选取两个数字中小于30的编号依次为17，12，13，26，03
则第5个个体的编号为03．
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 700 ．
【解答】解：由图[2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500＝0.7；
则在[2000，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000＝700．
故答案为：700．
15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为 （0，3） ．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax，
∵函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，
∴3x2﹣2ax＝0在（0，2）内有解．
∴a＝x∈（0，3）．
故答案为：（0，3）．
16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为____201______
A．401 B．201 C．402 D．202
【解答】解：由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，
则第n个使用火柴为2n+1，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201．
三．解答题
17. 在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．
【解答】解：（1）直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，转换为直角坐标方程为：x+2y﹣5＝0．
曲线C：＝1．转换为参数方程为（θ为参数）．
（2）设，
则，
当，
即，（k∈Z），
此时，
即时，．
18.设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的极值．
【解答】解：（1）f′（x）＝6x2+6x+a，
k切＝f′（0）＝a，
又因为切线方程为y＝﹣12x+1，
所以k切＝﹣12，
得a＝﹣12，
因为切点在切线上也在曲线上，
所以，
所以b＝1，
所以f（x）的解析式为y＝2x3+3x2﹣12x+1．
（2）f（x）定义域为R，
f′（x）＝6x2+6x﹣12
令f′（x）＝0得，x＝﹣2或1，
所以在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上单调递增，
在（﹣2，1）上单调递减，
所以f（x）极大值＝f（﹣2）＝21
f（x）极小值＝f（1）＝﹣6．
19.已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．
（1）求不等式的解集；
（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．
【解答】（1）解：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|，
∴当x＜0时，等价于|x|+|x﹣2|＞﹣4，该不等式恒成立；
当0＜x≤2时，等价于2＞4，该不等式不成立；
当x＞2时，等价于，解得x＞3，
∴不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．
（2）证明：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|≥|x﹣（x﹣2）|＝2，
当且仅当0≤x≤2时取等号，∴M＝2，a+2b+2c＝2，
由柯西不等式，可得4＝（a+2b+2c）2≤（12+22+22）（a2+b2+c2）＝9（a2+b2+c2），
当且仅当时等号成立，
∴．
时，函数f（x）为，当x＝4时，函数f（x）的最小值为．
20. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．
（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．
（i）请将表格补充完整；
短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90
60岁以下
140
合计
300
（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．
【解答】解：（1）平均数x＝（0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+0.03×11+0.01×13）×2＝6，
“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5，
所以500人中“长潜伏者”的人数为500×0.5＝250人；
（2）（i）由题意补充后的表格如图：
短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90
70
160
60岁以下
60
80
140
合计
150
150
300
（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为a，b，c，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，
从中抽取2人，共有21种不同结果，分别为：
（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（a，F），（a，G），（b，c），（b，D），（b，E），（b，F），（b，G），
（c，D），（c，E），（c，F），（c，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），
两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果．
所以两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率为．
21. 已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为
D，且直线l与直线OD的斜率之积为．
（1）求C的方程；
（2）设椭圆的左顶点为M，kMA，kMB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），
将点A，B坐标代入椭圆的方程两式相减+＝0，
所以kAB＝＝﹣，
因为D为AB的中点，所以kOD＝，
所以kAB•kOD＝﹣＝﹣，
所以＝，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为：+＝1；
（2）由（1）可得左顶点M（﹣2，0），由题意设直线AB的方程：x＝my+1，
联立直线与椭圆的方程：整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
所以kAM+kBM＝+＝＝
＝＝﹣m，
因为kAB•kOD＝﹣•kOD＝﹣，所以m＝﹣kOD，
所以kAM+kBM＝kOD．
22. 设函数f（x）＝x2+cos2x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2x﹣2sinxcosx＝2x﹣sin2x，f''（x）＝2﹣2cos2x＝2（1﹣cos2x）≥0，
∴函数f′（x）为增函数，又f′（0）＝0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）不等式f（x）≥kx+1即为x2﹣kx﹣1+cos2x≥0，设g（x）＝x2﹣kx﹣1+cos2x，x≥0，
则g′（x）＝2x﹣k﹣sin2x，
由（Ⅰ）可知，g′（x）是[0，+∞）上的增函数，
因为g′（0）＝﹣k，
所以当k≤0时，g′（0）≥0，函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，符合题意；
当k＞0时，g′（0）＝﹣k＜0，故存在x0＞0，使得g′（x0）＝0，
且当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以函数g（x）在x∈（0，x0）上为减函数，在x∈（x0，+∞）上为增函数，故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意．
综上，实数k的取值范围为（﹣∞，0]．
高二下学期期末考试（文）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1．复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
2．已知函数f（x）＝sinx，其导函数为，则＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
3．独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到P（K2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（ ）
A．有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系
B．有1%的把握认为变量X与变量Y有关系
C．有0.01%的把握认为变量X与变量Y有关系
D．有99%的把握认为变量X与变量Y有关系
4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
6．执行如图所示的程序框图，若输入N的值为28，则输出N的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（ ）
A．在区间（﹣2，2）上为减函数
B．在x＝﹣2处取得极小值
C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数
D．在x＝0处取得极大值
8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）
A．82.5 B．83 C．93 D．72
10．若函数f（x）＝kex﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（0，+∞） C．（，+∞） D．[0，+∞）
11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．
某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3 B．4 C．6 D．7
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为 .
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 ．
15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为 ．
16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为__________
三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．
18.（本小题满分12分） 设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的极值．
19. （本小题满分12分） 已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．
（1）求不等式的解集；
（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．
20. （本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．
（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．
（i）请将表格补充完整；
短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90
60岁以下
140
合计
300
（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．
21. （本小题满分12分）已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为
D，且直线l与直线OD的斜率之积为．
（1）求C的方程；
（2）设椭圆的左顶点为M，kMA，kMB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．
22. （本小题满分12分）设函数f（x）＝x2+cos2x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【解答】解：∵＝，
∴的实部是0．
故选：D．
2．已知函数f（x）＝sinx，其导函数为f'（x），则f'（）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【解答】解：∵f（x）＝sinx，
∴f′（x）＝cosx，
∴．
故选：C．
3．独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到P（K2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（ ）
A．有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系
B．有1%的把握认为变量X与变量Y有关系
C．有0.01%的把握认为变量X与变量Y有关系
D．有99%的把握认为变量X与变量Y有关系
【解答】解：独立性检验中，P（K2≥3.841）＝0.01表示的意义是
有99%的把握认为变量X与变量Y有关系．
故选：D．
4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
【解答】解：y＝x3﹣x
∴y′＝3x2﹣1，
所以k＝3×12﹣1＝2，
所以切线方程为y＝2（x﹣1），
即2x﹣y﹣2＝0
故选：D．
5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
【解答】解：A选项，甲的滑轮指标为4分，雪地足球指标也为4分，故A错误；
B选项，甲的雪地足球指标为4分，乙的雪地足球指标也为4分，故B错误；
C选项，甲的爬犁速降指标为4分，乙的爬犁速降指标为4分，故C正确，
D选项，乙的俯卧式爬犁指标为5分，甲的雪合战指标为5分，故D错误．
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，若输入N的值为28，则输出N的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：模拟程序的运行，可得
N＝28，不能被3整除，可得：N＝28﹣1＝27；
27能被3整除，；
9能被3整除，，
此时，3≤3，终止循环，输出N＝3．
故选：A．
7．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（ ）
A．在区间（﹣2，2）上为减函数
B．在x＝﹣2处取得极小值
C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数
D．在x＝0处取得极大值
【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减，
故f（x）在x＝﹣2取极小值，在x＝2取极大值，
故选：B．
8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意事件“抽取一个容量为2的样本，某个被抽到”包含了5个基本事件，而总的基本事件数是C62＝15
∴事件“某个个体被抽到的”概率是＝
故选：B．
9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）
A．82.5 B．83 C．93 D．72
【解答】解：将这组数据从小到大排列为72，74，76，81，82，83，86，93，93，99，
则这组数据的中位数是＝82.5．
故选：A．
10．若函数f（x）＝kex﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（0，+∞） C．（，+∞） D．[0，+∞）
【解答】解：f′（x）＝kex﹣x，依题意，kex﹣x≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
令，则，
易知函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴，
∴．
故选：A．
11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．
某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3 B．4 C．6 D．7
【解答】解：第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，
如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，
如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，
如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．
如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．
综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，画出的图象，
如图．直线g（x）＝k（x﹣1）过定点（1，0），
由图象可知，函数g（x）的图象与的图象相切时，
函数f（x），g（x）的图象恰有两个交点．
下面利用导数法求该切线的斜率．
设切点为P（x0，y0），由f'（x）＝x+2，x＜0，
得，化简得，
解得或（舍去），
要使方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，
则函数f（x），g（x）的图象恰有三个交点，
结合图象可知，
所以实数k的取值范围为，
故选：D．
二．填空题
13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
A．12 B．13 C．03 D．40
【解答】解：从随机数表第1行第5列开始，向右读取，
依次选取两个数字中小于30的编号依次为17，12，13，26，03
则第5个个体的编号为03．
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 700 ．
【解答】解：由图[2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500＝0.7；
则在[2000，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000＝700．
故答案为：700．
15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为 （0，3） ．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax，
∵函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，
∴3x2﹣2ax＝0在（0，2）内有解．
∴a＝x∈（0，3）．
故答案为：（0，3）．
16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为____201______
A．401 B．201 C．402 D．202
【解答】解：由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，
则第n个使用火柴为2n+1，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201．
三．解答题
17. 在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．
【解答】解：（1）直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，转换为直角坐标方程为：x+2y﹣5＝0．
曲线C：＝1．转换为参数方程为（θ为参数）．
（2）设，
则，
当，
即，（k∈Z），
此时，
即时，．
18.设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的极值．
【解答】解：（1）f′（x）＝6x2+6x+a，
k切＝f′（0）＝a，
又因为切线方程为y＝﹣12x+1，
所以k切＝﹣12，
得a＝﹣12，
因为切点在切线上也在曲线上，
所以，
所以b＝1，
所以f（x）的解析式为y＝2x3+3x2﹣12x+1．
（2）f（x）定义域为R，
f′（x）＝6x2+6x﹣12
令f′（x）＝0得，x＝﹣2或1，
所以在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上单调递增，
在（﹣2，1）上单调递减，
所以f（x）极大值＝f（﹣2）＝21
f（x）极小值＝f（1）＝﹣6．
19.已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．
（1）求不等式的解集；
（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．
【解答】（1）解：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|，
∴当x＜0时，等价于|x|+|x﹣2|＞﹣4，该不等式恒成立；
当0＜x≤2时，等价于2＞4，该不等式不成立；
当x＞2时，等价于，解得x＞3，
∴不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．
（2）证明：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|≥|x﹣（x﹣2）|＝2，
当且仅当0≤x≤2时取等号，∴M＝2，a+2b+2c＝2，
由柯西不等式，可得4＝（a+2b+2c）2≤（12+22+22）（a2+b2+c2）＝9（a2+b2+c2），
当且仅当时等号成立，
∴．
时，函数f（x）为，当x＝4时，函数f（x）的最小值为．
20. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．
（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．
（i）请将表格补充完整；
短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90
60岁以下
140
合计
300
（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．
【解答】解：（1）平均数x＝（0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+0.03×11+0.01×13）×2＝6，
“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5，
所以500人中“长潜伏者”的人数为500×0.5＝250人；
（2）（i）由题意补充后的表格如图：
短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90
70
160
60岁以下
60
80
140
合计
150
150
300
（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为a，b，c，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，
从中抽取2人，共有21种不同结果，分别为：
（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（a，F），（a，G），（b，c），（b，D），（b，E），（b，F），（b，G），
（c，D），（c，E），（c，F），（c，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），
两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果．
所以两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率为．
21. 已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为
D，且直线l与直线OD的斜率之积为．
（1）求C的方程；
（2）设椭圆的左顶点为M，kMA，kMB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），
将点A，B坐标代入椭圆的方程两式相减+＝0，
所以kAB＝＝﹣，
因为D为AB的中点，所以kOD＝，
所以kAB•kOD＝﹣＝﹣，
所以＝，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为：+＝1；
（2）由（1）可得左顶点M（﹣2，0），由题意设直线AB的方程：x＝my+1，
联立直线与椭圆的方程：整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
所以kAM+kBM＝+＝＝
＝＝﹣m，
因为kAB•kOD＝﹣•kOD＝﹣，所以m＝﹣kOD，
所以kAM+kBM＝kOD．
22. 设函数f（x）＝x2+cos2x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2x﹣2sinxcosx＝2x﹣sin2x，f''（x）＝2﹣2cos2x＝2（1﹣cos2x）≥0，
∴函数f′（x）为增函数，又f′（0）＝0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）不等式f（x）≥kx+1即为x2﹣kx﹣1+cos2x≥0，设g（x）＝x2﹣kx﹣1+cos2x，x≥0，
则g′（x）＝2x﹣k﹣sin2x，
由（Ⅰ）可知，g′（x）是[0，+∞）上的增函数，
因为g′（0）＝﹣k，
所以当k≤0时，g′（0）≥0，函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，符合题意；
当k＞0时，g′（0）＝﹣k＜0，故存在x0＞0，使得g′（x0）＝0，
且当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以函数g（x）在x∈（0，x0）上为减函数，在x∈（x0，+∞）上为增函数，故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意．
综上，实数k的取值范围为（﹣∞，0]．
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