2021-2022学年黑龙江省伊春市伊美区第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省伊春市伊美区第二中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．两平行直线和间的距离是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将直线的对应项系数化为的相同，代入平行线的距离公式中，求出距离．

【详解】解：将直线化为，

所以两平行直线和间的距离，

故选：A．

2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.

【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，

其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，

则其焦点到渐近线的距离；

故选D.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.

3．若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】由于已知抛物线的对称性，则可设抛物线然后把代入求出即可．

【详解】解：依题意设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

所以抛物线标准方程为，

故选：A．

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．

【答案】A

【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.

【详解】＝＝＝1.

故选：A.

5．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．

【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，

所以或（舍），故选A

【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．

6．已知函数，则等于（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】对函数求导得到，将代入等式求解即可.

【详解】由

得，

令，得，

解得，

故选：C

7．函数的单调递减区间为（　　）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．

【详解】函数的定义域为，

，

令，

∴函数的单调递减区间是，

故选：A

8．若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数无极值可知导数有两个相等的实数根或没有实数根，利用判别式求解即可.

【详解】∵在定义域R内不存在极值，

∴有两个相等的实数根或没有实数根，

∴，

∴．

故选：D

二、多选题

9．已知数列的前项和为，下列说法正确的（　　）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，则

【答案】BC

【分析】对于A，求出，, 即可判断；

对于B，利用求出通项公式，再验证是否满足2，即可判断；

对于C，根据等差数列的求和公式即可判断；

对于D，当时，可得，即可判断．

【详解】解：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；

对于B，若，则，当时，，满足2，

所以，则是等比数列，B正确；

对于C，是等差数列，则，C正确；

对于D，若是等比数列，当时，则，D错误.

故选：BC．

10．设等差数列的前项和为．若，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式

【详解】解：设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得，

所以，

，

故选：BC

11．若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ）

A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或

C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则

【答案】BC

【解析】根据方程所表示的曲线为的形状求出的取值范围，进而可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，若为椭圆，则，解得，A选项错误；

对于B选项，若为双曲线，则，即，解得或，B选项正确；

对于C选项，若曲线为圆，则，解得，C选项正确；

对于D选项，若为焦点在轴上的椭圆，则，解得，D选项错误.

故选：BC.

12．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ）

A．

B．

C．的极小值为

D．的极大值为

【答案】ABD

【分析】求出导数，表示出切线方程，即可求出a、b，利用单调性求出极大值.

【详解】因为，所以.又因为函数的图象在处的切线方程为，所以，，解得，.

所以AB正确；

由，令，得在单增，令，得在单减，知在处取得极大值，.无极小值.故选ABD.

三、填空题

13．圆被直线所截得的弦长为______．

【答案】

【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理及勾股定理计算可得；

【详解】解：圆，即，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以弦长为；

故答案为：

14．已知等比数列的前项和为，且，，则________.

【答案】

【分析】根据已知条件求出数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得，

所以，，，

因此，.

故答案为：.

15．若函数在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据二次函数的对称性进行求解即可.

【详解】二次函数的对称轴为：，要想函数在区间上恰有一个极值点，只需，

故答案为：

16．若函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】等价于在上恒成立，再求函数的最值得解.

【详解】因为函数在区间内是增函数，

所以在上恒成立，

故在上恒成立，

则．

故答案为：

四、解答题

17．(1)若双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，求此双曲线的标准方程；

(2)过点的直线交曲线于A，B两点，若，求直线的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）求得椭圆的焦点，可设双曲线的标准方程为，，进而由渐近线可求得的关系，即可求双曲线的标准方程；

（2）设出直线l的方程，与抛物线的方程联立，然后利用抛物线的定义求出焦点弦，即可列出关于k的方程，求解即可得到答案．

【详解】（1）记椭圆方程为，则，，

所以，所以，所以椭圆的焦点坐标为，.

由已知可设双曲线的标准方程为，且，

双曲线的渐近线方程为，

又双曲线的一条渐近线方程为，所以，则，

又，即，所以，，

所以双曲线的标准方程为.

（2）由已知可得，曲线轨迹为抛物线，，且是抛物线的焦点，

设，，则由抛物线的定义可知，，.

当直线斜率不存在时，直线方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线的方程为，

设，，

联立直线与抛物线的方程，可得，

，

当时，可得，设，则，此时不满足，

所以，则恒成立.

由韦达定理可得，，又，，

所以，

所以，即，解得.

当时，直线的方程为，即；

当时，直线的方程为，即.

综上所述，直线的方程为或.

18．已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求得；

（2）利用与的关系式即可得解．

【详解】（1）由题意，数列是公差为的等差数列，

又因为，所以，

故，则.

（2）已知，

当时，，

经检验：满足，

所以．

19．已知函数．

(1)若，求函数的极值；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)答案见解析

【分析】（1）先对求导，利用导数与函数性质的关系得到的单调性，从而求得的极值；

（2）求出的导数，分类讨论的范围，即可求出的单调区间．

【详解】（1）当时，，

则，

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值，无极小值.

（2）因为，

则，

当时，恒成立，所以在上单调递增，

当时，令，得；令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上：当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

20．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．

(1)求和的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．通过，求出q，得到，然后求出公差d，推出．

（2）设数列的前n项和为，利用错位相减法，转化求解数列的前n项和即可．

【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．

由已知，得，

而，所以．

又因为，解得．

所以，．

由，可得①，

由，可得②，

联立①②，解得，，

由此可得．

所以，的通项公式为，的通项公式为．

（2）设数列的前n项和为，

由，有，

，

上述两式相减，得

．

得．

所以，数列的前n项和为．

21．已知公比大于1的等比数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，列方程组，解得和，即可得到答案.

（2）根据条件，可知，是以为首项，为公比的等比数列前项和，再由等比数列求和公式求解即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

，解得.

所以.

（2）令，则，

所以，

所以数列是等比数列，公比为，首项为，

.

22．已知.

(1)讨论的单调性；

(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.

【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.

【解析】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.