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黑龙江省哈尔滨市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（文）试题
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这是一份黑龙江省哈尔滨市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（文）试题，共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 已知命题 （ ）
A. B.
C. D.
2. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
5.设是三个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A.若则 B.若，则
C.若则 D.若则
6. 在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理同时被选中的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆 的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.三棱柱底面为正三角形,侧棱与底面垂直，若 ，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在三棱锥中，为棱的中点,若, ,则异面直线与所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
10.如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①；
②与为异面直线且夹角为；
③；
④与平面所成的角为.其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 点在双曲线的右支上，其左，右焦点分别为，直线与以坐标原点为圆心，为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题（每题5分，共20分）
13. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， 则线段长度的最小值为_________
14. 在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则实数
15. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的表面积为________
16. 棱长为的正方体中，点分别在线段上运动（不包括线段端点），且.以下结论：①；②若点分别为线段的中点，则由线与确定的平面在正方体上的截面图形为等边三角形；③ 四面体的体积的最大值为；④直线与直线的夹角为定值.其中正确的结论为_______（填序号）
三、解答题（共70分）
17.（共10分）已知命题实数满足方程表示双曲线；命题实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆．
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
18.（共12分）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，观察向上的点数，并分别记为 .
（1）若记“”为事件，求事件发生的概率；
（2）若记“”为事件，求事件发生的概率.
19.（共12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，是的中点，是的中点.
（1）求四棱锥的体积;
（2）求证：平面
20.（共12分）设关于的一元二次方程
（1）若是从五个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若是从区间上任取的一个数，是从区间上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21.（共12分）已知正三角形, 正方形,平面平面, 为的中点,
（1）求证: 平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22.（共12分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点,则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
高二文科数学期末答案
一 选择题
1.A 2. C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D
二 填空题 13. 8 14. 3 15. 16.
三 解答题
17.（1）解：因为命题 为真命题，所以 ， 得
（2）解：方程 表示双曲线，则有 ， 得 ； ∵ 是 的充分不必要条件，∴ ， 解得
18. （1）解：将一颗质地均匀的骰子抛掷 次，它的点数有 这 种结果， 抛掷第 次，它的点数有 这 种结果，
因为骰子共抛掷 次，所以共有 种结果， 事件A发生的基本事件有： 共 种结果， 所以事件A发生的概率为
（2）解：事件B发生的基本事件有： 共6种结果，所以事件B发生的概率为 。 答：……
19.（1）解：四棱锥的体积
（2）证明：在 上取中点为 ，连接 和 ，
则易得 ，且 ， 且故四边形 为平行四边形，故 ， 又 面 ， 面
故 面
20. （1）解：由题意知本题是一个古典概型，设事件A为“方程有实根”， 总的基本事件共15个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3,0）（3,1）（3,2）（4，0）（4，1）（4，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含8个基本事件（a≥2b），（0，0）（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（4，0）（4，1）（4，2），∴事件A发生的概率为
（2）解：由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤2}，
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤2，a≥2b}．
∴所求的概率是 ．
21.（1）证明：正方形 中, ,由于平面 平面 ,且交线为 ,根据面面垂直的性质定理可知 平面 .
（2）证明：过 作 ,交点为 ,则 ,由于 平面 所以 .由于 ,所以 平面 ,故 是直线 与平面 所成的角.设正方形和等边三角形的边长都为1,则 .
22.（1）解：由题意可设椭圆方程为 ．则 ，
解得： 椭圆方程为 ，
（2）解：设 ，不妨 ，设 的内切圆的半径 ，
则 的周长为 因此 最大，就最大，
由题知，直线 的斜率不为零，可设直线的方程为 ，
由 得 ，得
则 ，令 ，可知 ，则 ，令 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递增，有 ，
即当 时， ，这时所求内切圆面积的最大值为 ．故直线 内切圆面积的最大值为 .
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 已知命题 （ ）
A. B.
C. D.
2. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
5.设是三个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A.若则 B.若，则
C.若则 D.若则
6. 在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理同时被选中的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆 的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.三棱柱底面为正三角形,侧棱与底面垂直，若 ，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在三棱锥中，为棱的中点,若, ,则异面直线与所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
10.如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①；
②与为异面直线且夹角为；
③；
④与平面所成的角为.其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 点在双曲线的右支上，其左，右焦点分别为，直线与以坐标原点为圆心，为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题（每题5分，共20分）
13. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， 则线段长度的最小值为_________
14. 在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则实数
15. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的表面积为________
16. 棱长为的正方体中，点分别在线段上运动（不包括线段端点），且.以下结论：①；②若点分别为线段的中点，则由线与确定的平面在正方体上的截面图形为等边三角形；③ 四面体的体积的最大值为；④直线与直线的夹角为定值.其中正确的结论为_______（填序号）
三、解答题（共70分）
17.（共10分）已知命题实数满足方程表示双曲线；命题实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆．
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
18.（共12分）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，观察向上的点数，并分别记为 .
（1）若记“”为事件，求事件发生的概率；
（2）若记“”为事件，求事件发生的概率.
19.（共12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，是的中点，是的中点.
（1）求四棱锥的体积;
（2）求证：平面
20.（共12分）设关于的一元二次方程
（1）若是从五个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若是从区间上任取的一个数，是从区间上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21.（共12分）已知正三角形, 正方形,平面平面, 为的中点,
（1）求证: 平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22.（共12分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点,则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
高二文科数学期末答案
一 选择题
1.A 2. C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D
二 填空题 13. 8 14. 3 15. 16.
三 解答题
17.（1）解：因为命题 为真命题，所以 ， 得
（2）解：方程 表示双曲线，则有 ， 得 ； ∵ 是 的充分不必要条件，∴ ， 解得
18. （1）解：将一颗质地均匀的骰子抛掷 次，它的点数有 这 种结果， 抛掷第 次，它的点数有 这 种结果，
因为骰子共抛掷 次，所以共有 种结果， 事件A发生的基本事件有： 共 种结果， 所以事件A发生的概率为
（2）解：事件B发生的基本事件有： 共6种结果，所以事件B发生的概率为 。 答：……
19.（1）解：四棱锥的体积
（2）证明：在 上取中点为 ，连接 和 ，
则易得 ，且 ， 且故四边形 为平行四边形，故 ， 又 面 ， 面
故 面
20. （1）解：由题意知本题是一个古典概型，设事件A为“方程有实根”， 总的基本事件共15个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3,0）（3,1）（3,2）（4，0）（4，1）（4，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含8个基本事件（a≥2b），（0，0）（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（4，0）（4，1）（4，2），∴事件A发生的概率为
（2）解：由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤2}，
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤2，a≥2b}．
∴所求的概率是 ．
21.（1）证明：正方形 中, ,由于平面 平面 ,且交线为 ,根据面面垂直的性质定理可知 平面 .
（2）证明：过 作 ,交点为 ,则 ,由于 平面 所以 .由于 ,所以 平面 ,故 是直线 与平面 所成的角.设正方形和等边三角形的边长都为1,则 .
22.（1）解：由题意可设椭圆方程为 ．则 ，
解得： 椭圆方程为 ，
（2）解：设 ，不妨 ，设 的内切圆的半径 ，
则 的周长为 因此 最大，就最大，
由题知，直线 的斜率不为零，可设直线的方程为 ，
由 得 ，得
则 ，令 ，可知 ，则 ，令 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递增，有 ，
即当 时， ，这时所求内切圆面积的最大值为 ．故直线 内切圆面积的最大值为 .
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