2020-2021学年27.2.2 相似三角形的性质示范课ppt课件

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第二十七章 相 似
27.2.2 相似三角形的性质
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似 比，并运用其解决问题. (重点、难点)2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并 运用其解决问题. (重点)
1. 相似三角形的判定方法有哪几种？
◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似
◑平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的 三角形与原三角形相似
◑三边成比例的两个三角形相似
◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
◑两角分别相等的两个三角形相似
◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角 形相似
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ . 2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的 高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ .
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍.
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别 是________________； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE，AC=2DF，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC ， 相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4.
又∵ EF∥AB，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4.设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____.
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF， ∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ 的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D.
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位 小数)？
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米)， DF = 1.2÷2 = 0.6 (米). ∵DF∥CH， ∴△ADF ∽△ACH，
解得 CH = 0.9米.∴ 阴影部分的面积为：
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，∴△ADE ∽△EFC.又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方