试卷 专题8《“PA＋k•PB”型的最值问题》

专题8《“PA＋k·PB”型的最值问题》

破解策略

“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．

1． 当点P在直线上

如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．

过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明  如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．

由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．

2． 当点P在圆上

如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．

在OB上取一点C，使得OC＝ k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明  如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．

则OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．

而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，

所以QC＝ k·QB．

所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．

例题讲解

例1  如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝cm，对角线AC、BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1．5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为

过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F

则EF＝3cm，AF＝cm

∴AE＝cm，从而sin∠EAF＝＝

过点P作PG⊥AD于点G，则有PG＝PA

过点O作OH⊥AD于点H，则OH＝CD＝3

而OP＋PA＝PO＋PG≥OH，所以t最小＝3s

显然AH＝AF，所以AP＝AE＝cm

综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s．

   例2  在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m的顶点为C．直线y＝x＋2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧．抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'．以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB′＋QB的值最小，则这个最小值为多少？

解：∵y＝x2－2mx＋m2＋m＝（x－m）2＋m

∴顶点C的坐标为（m，m），从而点M的坐标为（m，m＋2）

连结MQ，则MQ＝MC＝2

联立方程组

可得点A（m－1，m＋1），B（m＋2，m＋4）

∴BM＝，即MQ＝MB

取MB的中点N，则MN＝MB＝MQ

连结QN，易证△QMB≌△NMQ

∴QN＝QB

连结B′N，则QB′＋QB＝QB′＋QN≥B′N

易得直线AB与y轴的夹角为45°，所以∠AMC＝45°

连结B′M，则∠B′MB＝2∠AMC＝90°

在RtB′MN中，B′N＝

即QB′＋QB的最小值为

进阶训练

1. 如图在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，以点B为圆心作B与AC相切，P为B上任意一点，求PA＋PC的最小值．