中考几何模型压轴题 专题8《“PA＋k•PB”型的最值问题》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题8《“PA＋k·PB”型的最值问题》

破解策略

“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．

1． 当点P在直线上

如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．

过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明  如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．

由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．

2． 当点P在圆上

如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．

在OB上取一点C，使得OC＝ k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明  如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．

则OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．

而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，

所以QC＝ k·QB．

所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．

例题讲解

例1  如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝cm，对角线AC、BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1．5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为

过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F

则EF＝3cm，AF＝cm

∴AE＝cm，从而sin∠EAF＝＝

过点P作PG⊥AD于点G，则有PG＝PA

过点O作OH⊥AD于点H，则OH＝CD＝3

而OP＋PA＝PO＋PG≥OH，所以t最小＝3s

显然AH＝AF，所以AP＝AE＝cm

综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s．

   例2  在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m的顶点为C．直线y＝x＋2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧．抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'．以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB′＋QB的值最小，则这个最小值为多少？

解：∵y＝x2－2mx＋m2＋m＝（x－m）2＋m

∴顶点C的坐标为（m，m），从而点M的坐标为（m，m＋2）

连结MQ，则MQ＝MC＝2

联立方程组

可得点A（m－1，m＋1），B（m＋2，m＋4）

∴BM＝，即MQ＝MB

取MB的中点N，则MN＝MB＝MQ

连结QN，易证△QMB≌△NMQ

∴QN＝QB

连结B′N，则QB′＋QB＝QB′＋QN≥B′N

易得直线AB与y轴的夹角为45°，所以∠AMC＝45°

连结B′M，则∠B′MB＝2∠AMC＝90°

在RtB′MN中，B′N＝

即QB′＋QB的最小值为

进阶训练

1. 如图在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，以点B为圆心作B与AC相切，P为B上任意一点，求PA＋PC的最小值．