中考经典几何模型与最值问题 专题19 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题

专题7 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题

【专题说明】

【知识精讲】

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

根据动点之间的相对位置关系【分析】圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系【分析】轨迹圆半径数量关系．

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

【例题】

1、如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2、如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　

A． B．3 C． D．

3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对

称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   )

A．1 B． C． D．2

4、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．

5、如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________.

6、如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．

7、如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式．

【解析】（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．

（2）①如图1中，

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，

∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=．

②如图2中，

图2

当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE==3，∴点D的坐标为（4，3）．

设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∴P（，5），

∴直线PD的解析式为y=﹣x+．