试卷专题7《旋转之求线段最值》

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这是一份试卷专题7《旋转之求线段最值》，共7页。

如图，线段OA， OB为定长，则A， B， O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋OB．
常见的题型有：
1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．
取AB中点D，连接OD， CD．当O， C， D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．
2．如图，等边△ABC大小固定，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．
取AB中点D，连接OD， CD．当O， C， D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．
3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．
取AB中点D，连接OD， CD．当O， C， D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|．
例题讲解
例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝．若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．
解：在Rt△ABC中，AC＝＝12，AB＝6．
如图1，当AD＝AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝AB＝，
EF＝AD＝2．所以当且仅当C， E， F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，
此时CE＝CF＋EF＝2＋3．
图1
② 如图2，当AD＝AC时，同理可得CE的最大值为4＋3．
综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4＋3．
图2
例2 以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝30°．如图，若BO＝，点N在线段OD上，且NO＝2，P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为________，最大值为________．
解：－2；＋2．
过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝OB＝．
故当点P在点E处时，OP长度取最小值；当点P在点B处时，OP长度取最大值．
①当△AOB绕点O旋转到O，E，D三点共线，且点E在线段OD上时，PN取最小值，即OE－ON＝－2；
②当△AOB绕点O旋转到O，B，D三点共线，且点B在线段DO的延长线上时，PN取最大值，OB＋ON＝＋2．
所以线段PN长度的最小值为－2，最大值为＋2．
进阶训练
1．已知△AOB和△COD是等腰三角形，其中BA＝BO＝2，CD＝CO＝3，∠ABO＝∠DCO．连结AD，BC，M，N分别为OA，BC的中点．若固定△AOB，将△COD绕点O旋转，求MN的最大值．
【答案】．
【提示】如图，取OB的中点E，连结EM，EN，则EM，EN为定值，当点E在线段MN上时，MN取最大值．
2．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）设BC的中点为M，求线段PM的长；
（2）求点P到AB所在直线的距离的最大值．
【答案】（1）；（2）1＋．
【提示】（1）易证△E1AC≌△D1AB，所以∠E1CA＝∠D1BA，从而可得∠BPC＝∠BAC＝90°，所以PM＝BC＝．
（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．
3．已知：正方形ABCD的边长为1，P为正方形内的一个动点，若点M在AB延长线上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD的延长线于点N，连结CM，是否存在满足条件的点P，使得PC＝？请说明理由．
【答案】不存在满足条件的点P，使得PC＝．
【提示】因为△PBC∽△PAM，可得∠ABP＋∠PAM＝∠ABP＋∠PBC＝90°，所以AP⊥BN．以AB为直径，作半圆O，连结OC，OP，则OP＋PC≥OC，从而PC≥，所以不存在满足条件的点P，使得PC＝．