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试卷 专题11《轴对称》
展开专题11《轴对称》
破题策略
成轴对称的两个图形全等;如果两个图形关于某条直线对称,那么对成轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.通常所说的翻折实质上就是轴对称变换.图形沿着某条直线翻折,这条直线即为对称轴,利用轴对称的性质,再借助方程的知识就能很快解决问题.
例题讲解
例1 在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为点E,连接BE、DE,其中DE交直线AP于点F.
(1)如图1,若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;
(2)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系,并证明;
解 (1)如图3,连接AE,则∠PAE=∠PAB=20°,AE=AB.
四边形ABCD为正方形 ∠BAD=90°,AB=AD ∠EDA=130° ∠ADF=25°
(2)如图4,连接AE,BF,BD,由轴对称知EF=BF,AE=AB=AD
∠ABF=∠AEF=∠ADF, ∠BFD=∠BAD=90° BF2+FD2=BD2 EF2+FD2=2AB22
例 2 菱形纸片ABCD的边长为2,折叠菱形纸片,将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处,折痕分别为EF、GH.当重合点在对角线BD上移动时,六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的?
小明发现:若∠ABC=60°,
①如图1,当重合点在菱形的对称中心O处时,六边形AEFCHG的周长为_________;
②如图2,当重合点在对角线BD上移动时,六边形AEFCHG的周长_________(填“改变”或“不变”).
请帮助小明解决下面问题:
如果菱形纸片ABCD边长仍为2,改变∠ABC的大小,折痕EF的长为m.
(1)如图3,若∠ABC=120°,则六边形AEFCHG的周长为_________;
(2)如图4,若∠ABC的大小为,则六边形AEFCHG的周长可表示为________.
答案:(1)①6;②不变;(2);4+4sin.
(1)如图1,因为EF=AB=FC=CH=AG=GH=1,所以周长为6.
如图2,因为△EBF、△GHD为等边三角形,所以EF=BE,GH=GD
因为四边形FCDG、AEHD为平行四边形,所以FC=GD=DH=AE,同理可得CH=BE=AG
所以周长不变
(2)当∠ABC=120°时,EP=,GH=.
因为AE=DH=DG=FC,AG=BF=BE=CH
所以六边形AEFCHG的周长为AB+AD++=4+2.
当∠ABC=2时,EF=2BEsin,,GH=2DGEsin
所以六边形AEFCHG的周长为4+4sin
例3 有一个数学活动,其具体操作过程是:第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).请解答以下问题:
(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?请证明你的结论;
(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?
(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值,此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点),为什么?
解:(1)△BMP是等边三角形
连接AN
∵EF垂直平分AB,
∴AN=BN
由折叠知AB=BN,
∴AN=AB=BN,
∴△ABN为等边三角形,
∴∠ABN=60°
∴∠PBN=30°
又∵∠ABM=∠NBM=30°,∠BNM=∠A=90°,
∴∠BPN=60°,∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°
∴∠BMP=60°,
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°
∴△BMP为等边三角形.
(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC≥BP
在Rt△BNP中,BN=BA=a,∠PBN=30°
∴
∴
∴
所以当时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP.
(3)∵∠M′BC=60°,
∴∠ABM′=90°-60°=30°
在Rt△ABM′中,
∴
∴
∴M’(,2),代入y=kx中,得
设△ABM′沿BM′折叠后,点A落在矩形ABCD内的点为A′,过A′作A′H⊥BC交BC于H
∵△A′BM′≌△ABM′,
∴∠A'BM'=∠ABM'=30°,A′B=AB=2
∴∠A'BH=∠M'BH-∠A'BM'=30°
在Rt△A′BH中,A′H=AB=1,BH=
∴
∴A′落在EF上.
进阶训练
1.已知:在菱形ABCD中,∠ADC=120°,E是对角线AC上一点,连结DE,∠DEC =50°,将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF,交ED的廷长线于点G.求证:EG=BC.
2.如图,有一矩形纸片ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠,使顶点A落在BC上的A '处,折痕所在直线同时经过边AB,AD(包括端点),设BA '=x,则x的取值范围是______.
3.如图,将正方形ABCD翻折,使点B落在CD边上点E处(不与C,D重合),压平
后得到折痕MN.设,则(用含n的式子表示).
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