初中数学中考复习 专题12 最短路径—阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

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专题十二：最短路径——阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问
题探究
知识精讲
在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。
对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：
几何“PA + k·PB”型的最值问题．
如图2所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?如图3所示，在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小(如图 4 所示)．

图2 图3 图4
专题导例
1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值　 　．

方法点睛
“阿氏圆”解题一般步骤:
(1)连接动点 P 至圆心 O(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接 OP，OB;
(2)计算出所连接的这两条线段 OP，OB 的长度;
(3)计算这两条线段长度的比 ;
(4)在 OB 上取点 C，使得 ，即:半径的平方 = 原有的线段 × 构造线段;
(5)连接AC与圆O的交点即为点 P．
要点：如图5，构造△PAB∽△CAP，得到PA2=AB·AC，即：半径的平方=原有线段 × 构造线段

口决：路径成最短，折线变直线
导例答案：2-1．
典例精讲
类型一：圆中的阿氏圆问题
例1如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD，连接AD、BD，则的最小值为 .

方法一：阿氏圆模型
对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下；

而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！
P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM==1，即可确定M点位置．

如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．
方法二:构造相似三角形
注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．

问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．
【问题剖析】
（1）这里为什么是？
答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是，也只能构造．
（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？
答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为．
类型二：与抛物线有关的阿氏圆问题
例2．如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC，OA，AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O，C，P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；
（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A，E′B，求E′A+E′B的最小值．

【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；
（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出==，
，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长；
　专题突破
1.如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为 ，的最大值为 .

2.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是 .

3如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值为 .

4.如图 9 所示，点 A，B 在⊙O 上，且 OA = OB = 6，且OA⊥OB，C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且 OD = 4，动点 P在⊙O 上，则 PD +2PC 的最小值为 ．

5.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y＝x+．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．

6．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′、BE′，求AE′+BE′的最小值．

7.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为　 　．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为　 　．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值．

专题十二：最短路径——阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问
题探究答案
例1.连接CD，在BC上取点E，使得CE＝2，连接AE、ED，如图所示：

∵CD＝4，BC＝8，CE＝2，，
，
∵∠BCD＝∠BCD，∴△CDE∽△CBD，
，，
∴BD＝2DE，，
，
根据两点之间，线段最短，当点D在AE上时，AD＋DE最小，最小值就是AE的长，
，∴∠ACB＝90º，
的最小值是.
例2．（1）过点A作AH⊥x轴于点H．

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°．∴OH=1，AH=．
∴A点坐标为（﹣1，），B点坐标为（2，0）．
将两点代入y=ax2+bx,得解得∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x；
（2）如图，

∵C（1，﹣），∴tan∠EOC==．∴∠EOC=30°．
∴∠POC=90°+30°=120°．∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∵OA=2OE，OC=，∴当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似．
∴OP=，OP′=．∴点P坐标为（0，）或（0，）．
（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．

∵==，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′．
∴==．∴E′Q=BE′．∴AE′+BE′=AE′+QE′．[来源:学&科&网]
∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长，最小值为
=．
专题突破
1.在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：


∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，
∴，
在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，
最小值为；
当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：

此时最大值也是DG，最大值为5.
2.依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：

，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，
，，
，
当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，
∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，
∴的最小值为2DE.
3. 在BC上取一点G，使得BG＝1，过点D作DF⊥BC的延长线交于点F，连接DG、BP，如图所示：


∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG ∽△CBP，

，∴当D、G、P三点共线时，的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60º，CD＝4，，
在Rt△GDF中，
的最小值为.
4. 4 ．提示：如图，作O关于A的对称点E，连接ED交圆O于点P．

5.（1）在y＝x+中，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣6，
∴B（0，），A（﹣6，0），把B（0，），A（﹣6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，所以
∴抛物线的函数关系式为：y＝﹣x2﹣x+，
令y＝0，则0＝﹣x2﹣x+，∴x1＝﹣6，x2＝1，∴C（1，0）；
（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m，m+），当DE为底时，
如图1，作BG⊥DE于G，则EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，∵DM+DG＝GM＝OB，
∴m++（﹣m2﹣m+﹣m﹣）＝，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合题意，舍去），
∴当m＝﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；
（3）①存在，如图2．∵ON＝OM′＝4，OB＝，
∵∠NOP＝∠BON，
∴当△NOP∽△BON时，＝＝，∴不变，即OP＝ON＝×4＝3，∴P（0，3）；
②∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，=，
∴NP＝NB，∴（NA+NB）的最小值＝NA+NP，
∴此时N，A，P三点共线，∴NA+NB的最小值＝＝3．

6．如图，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数解析式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求AE′+BE′的最小值．

7. （1）解：将A（4,0）代入抛物线y=ax2+（a+3）x+3，
∴16a+4（a+3）+3=0.
解得a＝--，抛物线解析式为-.
当x=0时，y=3，所以B（0,3），设直线解析式为y=kx+b，将A，B点的坐标代入得
解得
∴y＝-.
（2） ∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN.
∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE.∴=.
∵NE∥OB，∴.∴AN＝(4－m).
∵抛物线的解析式为-.
∴PN=--m2＋m＋3-(--m＋3)= --m2＋3m.
∴＝
∴m＝2.
（3）如图，在y轴上取一点M′，使得OM′=,连接AM′,在AM′取一点E ′，使得OE ′=OE，∴OE＝OE′＝2，O M′·OB=×3=4.
∴2 = O M′·OB.
∵∠BO∠M′OE′,
∴△M′OE∽△ OB.
∴=＝.∴M′E′= B.
∴A E′+E′= A E′+ M′E′= A M′，此时A E′+E′最小(两点之间线段最短，A, M′，E′三点共线)
在Rt△AO M′中，AO=4，O M′=，∴A M′= ，
A E′+E′最小值为 .

（1）如图1，

连结AD，
∵AP＋BP＝AP＋PD，要使AP＋BP最小，
∴AP＋AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋AD最小，
即：AP＋BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴，
AP＋BP的最小值为；
（2）如图2，

连接CP，在CA上取点D，使CD＝，
∴，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴，
∴PD＝AP，
∴AP＋BP＝BP＋PD，
∴同（1）的方法得出AP＋BP的最小值为；
（3）如图3，

延长OA到点E，使CE＝6，
∴OE＝OC＋CE＝12，
连接PE、OP，
∵OA＝3，
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA＋PB＝EP＋PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：.