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试卷 专题9《费马点》
展开若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点
如图在△ABC中,∠BAC≥120°,求证:点A为△ABC的费马点
证明:
如图,在△ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作∠CAP= ∠CAP,并且使得AP=AP,连结PP
则△APC≌△APC,PC=PC
因为∠BAC≥120°
所以∠PAP=∠CAC≤60
所以在等腰△PAP中,AP≥PP
所以PA+PB+PC≥PP+PB+PC>BC=AB+AC
所以点A为△ABC的费马点
若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.
如图,在△ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O,求证:点O为△ABC的费马点
证明:在△ABC内部任意取一点O,;连接OA、OB、OC
将△AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到△AO′D连接OO′则O′D=OC
所以△AOO′为等边三角形,OO′=AO
所以OA+OC+OB=OO′+OB+O′D
则当点B、O、O′、D四点共线时,OA+OB+OC最小
此时ABAC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O
如图,在△ABC中,若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°,O为费马点,则有∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
例1 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-6,0),点B的坐标为(6,0),点C的坐标为(6,),延长AC至点D使得CD=AC,过点DE作DE//AB,交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点,点P从直线y=x+与y轴的交点M出发,先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定点G的位置,使点P按照上述要求到达A所用的时间最短
解:∵t=
∴当2GA+GM最小时,时间最短
如图,假设在OM上存在一点G,则BG=AG
∴MG+2AG=MG+AG+BG
把△MGB绕点B顺时针旋转60°,得到△M′G′B,连结GG′,MM′
∴△GG′B、△MM′B都为等边三角形
则GG′=G′B=GB
又∵M′G′=MG
∴MG+AG+BG=M′G′+GG′+AG
∵点A、M′为定点
∴AM′与OM的交点为G,此时MG+AG+BG最小
∴点G的坐标为(0,)
例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点,要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并是整个公路系统的总长度为最小,则应当如何修建?
解:如图,将△ABP绕点N逆时针旋转60°,得到△EBM;同样,将△DCQ绕点C顺时针旋转60°,得到△FCN,连结AE、DF,则△ABE、△DCF均为等边三角形,连结PM、QN,则△BPM,△CQN均为等边三角形
所以当点E,M,P,Q,N,F共线时,整个公路系统的总长取到最小值,为线段EF的长,如图,此时点P,Q在EF上,1=2=3=4=30.
进阶训练
1.如图,在ABC中,ABC=60,AB=5,BC=3,P是ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值,并确定当PA+PB+PC取得最小值时,APC的度数.
答案:PA+PB+PC的最小值为7,此时APC=120.
【提示】如图,将APB绕点B逆时针旋转60,得到A'BP',连结PP',A'C.过点A'作A'EBC,交CB的延长线于点E.解RtA'EC求A'C的长,所得即为PA+PB+PC的最小值.
2. 如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连结AM,CM,EN.
(1)当M在何处时,AM+CM的值最小?
(2)当M在何处时,AM+BM+CM的值最小?请说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
答案:(1)当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小,最小值为AC的长;
(2)连结CE,当点M位于BD与CE的交点处时.AM+BM+CM的值最小,最小值为CE的长.
(3)正方形的边长为.
【提示】(3)过点E作EFBC,交CB的延长线于点F,解RtEFC即可.
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