2021/2022学年度第二学期期中质量检测试卷

高二数学（理科）

试卷分值：150分  考试时间：120分钟

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、    选择题 （本题共计 12 小题，每题 5 分 ，共计60分 ）

1．设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（       ）

A． B． C． D．

2．观察下列各式：，，，，则末位数字为（       ）

A．1 B．3 C．7 D．9

3．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（　　）

A．a∥b B．a与b异面

C．a与b相交 D．a与b无公共点

4．曲线在处的切线的斜率为（       ）

A．                             B．                           C．                                D．

5．若，则等于（       ）

A．-3 B．3 C．-6 D．6

6．设m､n是两条不同的直线，､是两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

7．用数学归纳法证明，在验证成立时，左边所得的代数式是（       ）

A．1 B． C． D．

8．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．已知，若，则x=（       ）

A．-1 B．1 C．0 D．2

10．已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（       ）

 A．                   

 B．

C．        

 D．

11．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．1

12．函数的图象如图所示，则不等式的解集（     ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

二、 填空题 （本题共4 小题，每题 5分，共计20分 ）

13．已知，则的虚部为______．

14．用反正法证明：“若，则或”时，需假设_________.

15．在正方体中，异面直线与AB所成角的度数为______．

16．已知函数，x∈[0，π]，则f（x）的最小值为______.

三、 解答题 （本题共6小题 ，共计70分 ）

17．（10分）用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．

18．（12分）如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点．证明：//平面．

19．（12分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．

(1)求证：平面；

(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．

20．（12分）已知函数．

(1)写出函数的单调区间；

(2)讨论函数的极大值和极小值是否存在．如果存在，求出极值．

21．（12分）设函数．

(1)求f（x）在处的切线方程；

(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

22．（12分）已知函数，函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围
 

2021-2022学年度第二学期高二数学（理科）期中考试卷

参考答案：

1．A  2．D   3．D  4．D  5．D   6．C  7．C  8．D   9．A  10．C  11．C   12．A

13．1      14． 且      15．90°     16．1

17．【详解】

（1）当时，左边，右边，①式成立．

（2）假设当时，①式成立，即，

根据等差数列的定义，有，

于是，

即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．

18．证明：取的中点G，连接GF，AG，

因为G为的中点，F为的中点，所以且CD＝2GF，

又E为AB的中点，AB＝CD，，所以且AE＝GF，

所以四边形AEFG为平行四边形，所以//，

因为平面，EF平面，

所以//平面．

19．【解析】(1)因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.

(2)因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.

20．【解析】

(1)．

令，得或．

则当时，，单调递增；

则当时，，单调递减；

则当时，，单调递增．

故函数的增区间为和，减区间为．

(2)由（1）知，当时，有极小值；

当时，有极大值．

21．【解析】

(1)由题意知，，即切点为（1，－3），

又，所以

所以f（x）在处的切线方程为：，即；

(2)，

令得；令得或，

故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，

函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，

又，

∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－19

22．【解析】

(1)由题意可得的定义域为，且．

①当时，由，得；由，得．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

②当时，由，得；由，得．

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．

(2)当时，令，得，即，

则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．

设，则．

由，得；由，得．

函数在上单调递增，在上单调递减，故．

因为，，且，

所以要使在上有两个不同的实根，则，

即k的取值范围为．