甘肃省武威市凉州区2021-2022学年高二数学（理）上学期期末试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第一学期期末质量检测试卷

高二数学（理科）

试卷分值：150分   考试时间：120分钟  

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;

2．请将答案正确填写在答题卡上.

卷I（选择题）

 一、 选择题 （本题共计 12 小题  ，每题 5 分 ，共计60分 ）

1. 若，则下列正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.

【详解】对于选项A：若，则，

由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；

对于选项B：当时，若，则，故B错误；

对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；

对于选项D：由不等式性质，可知D正确.

故选：D.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；

【详解】解：命题“，”为全称量词命题，其否定为，；

故选：B

3. 某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.

【详解】设高一年级学生人数为，

因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，

所以从高二和高三年级抽取人，

则，解得，

即高一年级学生人数为.

故选：B

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的单调性直接判断是否能推出，反过来判断

时，是否能推出.

【详解】当时，利用正弦函数的单调性知；当时，或.综上可知“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.

5. 在数列中，，则此数列最大项的值是（    ）

A. 102 B.  C.  D. 108

【答案】D

【解析】

【分析】将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.

【详解】将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，

因为，

所以当时，取得最大值，

故选：D

6. 已知，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式进行求解.

【详解】因为，，

所以

（当且仅当，即时取等号），

即的最小值为4.

故选：D.

7. 等差数列中，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列的前项和公式和性质进行求解.

【详解】由题意，得.

故选：C.

8. 动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（    ）

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 线段 D. 不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，即可得答案.

【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，

故选：A

9. 已知数列满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】判断出奇数项是等比数列，按照等比数列的通项公式计算即可.

【详解】由，知奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列，所以.

故选：B.

10. 等比数列的各项均为正数，且，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的性质，结合已知条件，求得，进而求得的值.

【详解】由于数列是等比数列，故，所以，故.

故选B.

【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.

11. 已知椭圆：的离心率为，则实数 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，先求得的值，代入离心率公式，即可得答案.

【详解】因为，所以

所以，解得.

故选：C

12. 双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则它的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直，求出，再利用双曲线的离心率公式和进行求解.

【详解】因为直线的斜率为，

所以双曲线的一条渐近线与直线垂直，

所以，即，

则双曲线的离心率.

故选：A.

卷II（非选择题）

 二、 填空题 （本题共计 4 小题  ，每题 5 分 ，共计20分 ）

13. 若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则m最大值为________．

【答案】

【解析】

【分析】解不等式，得到或，，根据必要不充分条件，得到是A的真子集，从而求出，得到m的最大值.

【详解】，解得：或，

所以记或，；

若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则是A的真子集．

故，所以m最大值为

故答案为：-2

14. 若椭圆W：的离心率是，则m=___________.

【答案】或

【解析】

【分析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果．

【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，

由题意得，

解得．

②当椭圆的焦点在轴上时，则有，

由题意得，

解得．

综上可得或．

故答案为或．

【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解．

15. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是 _________.

【答案】##

【解析】

【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.

【详解】，

画出可行域如下图所示，

由图可知，平移基准直线到点时，

取得最大值为.

故答案为：

16. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】先设出抛物线方程，写出准线方程和焦点坐标，利用得到抛物线方程，再利用三角形的面积公式进行求解.

【详解】设抛物线的方程为，

则焦点为，准线方程为，

由题意，得，，，

所以，解得，

所以.

故答案为：.

三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）

17. 已知集合，.

（1）当时，求AB；

（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由，解得范围，可得，由可得：，解得．即可得出．

（2）由，解得．根据是成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数的取值范围．

【详解】（1）由，解得，可得：．

，可得：，化为：，解得，．

所以=.

（2）q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集.

由，解得．

，又集合A=，

所以 或

解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18. 等差数列的前n项和为，已知．

（1）求的通项公式；

（2）若，求n的最小值．

【答案】（1）   

（2）12

【解析】

【分析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.

【小问1详解】

解：设的公差为d，

因为，可得，解得，

所以，即数列的通项公式为．

【小问2详解】

解：由，可得，

根据二次函数的性质且，可得单调递增，

因为，所以当时，，

故n的最小值为12．

19. 已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.

（1）若是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】（1）若是真命题，所以，解得，

所以的取值范围是.

（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，

为真命题时，，

所以的取值范围是

因为是的必要不充分条件，

所以，所以，等号不同时取得，

所以

【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.

20. 已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若在上恒成立，求取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可求出结果；

（2）二次函数的恒成立问题需要对二次项系数是否为0进行分类讨论，即可求出结果.

【详解】（1）当时，，即，

解得或，

所以，解集为或.

（2）因为在上恒成立，

①当时，恒成立；

②当时，，解得，

综上，的取值范围为.

21.   已知函数，且）的图象经过点和 .

（1）求实数，的值；

（2）若，求数列前项和 .

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）将A、B点坐标代入，计算求解，即可得答案.

（2）由（1）可得解析式，即可得，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式，即可得答案.

【小问1详解】

由已知，可得，

所以， 解得， .

【小问2详解】

由（1）得，又，

所以，

故

 .

22. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；

（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

【详解】（1），

所以，即抛物线C的方程.

（2）设，

由得

所以，

所以

.

【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，

(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．

(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．