2020-2021学年甘肃省武威市凉州区高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年甘肃省武威市凉州区高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．命题“或”的否定形式是（       ）

A．若，则 B．或

C．且 D．且

【答案】D

【分析】“或”的否定为“且”,由此即可得到结果.

【详解】命题“或”的否定形式是“且”.

故选：D.

2．已知复数，则复数在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】分析：利用复数的除法运算得和，从而得解.

详解：复数，则.

所以. 在复平面上对应的点为，位于第二象限.

故选B.

点睛：本题考察了复数的除法运算和共轭的定义及在复平面对于点的问题.

3．若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用离心率公式求解.

【详解】因为椭圆的离心率，

所以，解得，

所以双曲线的离心率，

解得，

故选：B

4．由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提､小前提和结论的分别是（       ）

A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②

【答案】D

【分析】根据三段论的概念，即可判断出结果.

【详解】该三段论应为：③一次函数的图象是一条直线（大前提），①y=2x+5是一次函数（小前提），②y=2x+5的图象是一条直线（结论）

故选：D.

5．已知函数的导函数的图象如图，则（       ）

A．函数有个极大值点，个极小值点

B．函数有个极大值点，个极小值点

C．函数有个极大值点，个极小值点

D．函数有个极大值点，个极小值点．

【答案】B

【分析】根据导函数值的正负判断原函数的单调性，再根据单调性的改变判断极值点.由单调递增变为单调递减为极大值，单调递减变为单调递增为极小值.

【详解】由的图象可知，

当时，，所以单调递增，

当时，，所以单调递减，

当时，，所以单调递增，

所以在为极大值，在时为极小值.

故选：B.

6．已知数列1，,,,…，则数列的第k项是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案

【详解】解：由已知数列的前4项：1，,,,

归纳可知该数列的第项是一个以1为首项，以为公比的等比数列第项开始的连续项和，

所以数列的第项为：

故选：D

7．已知函数的导函数为，且满足，则为（     ）

A． B．-1 C．1 D．

【答案】B

【分析】【详解】求导得：，

令x=1，得到f′(1)=2f′(1)+1，

解得：f′(1)=−1，

故选：B.

8．长方体中，，，则二面角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先二面角的定义得到是二面角的平面角，根据图形即可计算.

【详解】由图可知，，所以是二面角的平面角，

，所以.

故选：D

9．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）

A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5

【答案】C

【分析】先要找出命题为真命题的充要条件， 从集合的角度充分不必要条件应为

的真子集，由选择项不难得出答案

【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立

即只需，

即命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的的充要条件为，

而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知 C 符合题

意.

故选：C

10．过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则的值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件用c求B坐标，根据斜率公式得结果

【详解】因为B在轴上的射影恰好为右焦点F，所以

因为椭圆的离心率为，所以

因此，选C.

【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及斜率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

11．函数在R上为减函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，即可求出参数的取值范围；

【详解】解：因为，所以，因为函数在R上为减函数，所以在上恒成立，

即恒成立，故

故选：A

【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.

12．已知函数，则对于任意实数，()，则的值为(　 )

A．恒正 B．恒等于0 C．恒负 D．不确定

【答案】A

【详解】∵函数，∴，∴函数是奇函数，∵在上单调减，在上单调增，故为上的增函数，若，则，∴，∴，∴；若，则，∴，∴，∴∴故选A.

点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，解题时要熟练掌握基本概念，合理地进行等价转化；利用函数奇偶性的定义，先判断出是奇函数；再由函数单调性的定义，判断出在上是增函数，由此能求出结果.

二、填空题

13．已知空间三点的坐标为、、，若、、三点共线，则______.

【答案】

【分析】将、、三点共线转化为，设，利用空间向量的坐标运算列出方程组可求出、、的值，可求出的值.

【详解】由题意可得，，

、、三点共线，则，则存在实数，使得，解得，

因此，，故答案为.

【点睛】本题考查空间中三点共线问题，解题的关键在于将三点共线转化为向量共线来处理，考查运算求解能力，属于基础题.

14．观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为_______．

【答案】

【详解】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.

15．曲线与直线围成的封闭图形的面积为__________.

【答案】－

【详解】做出如图所示：，可知交点为，因此封闭图形面积为：

点睛：定积分的考察，根据题意画出图形，然后根据定积分求面积的方法写出表达式即可求解

16．若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则_______.

【答案】2

【分析】设，将直线与抛物线联立消，根据判别式求出，利用焦点弦公式求出，结合韦达定理以及等差数列的性质即可求解.

【详解】设．

由消去，得，

故，

解得，且．

由，且成等差数列，

得，得，

所以，解得或，

又，故.

故答案为：2

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式、等差中项，考查了考生的计算能力，属于中档题.

三、解答题

17．设复数，若，求实数的值.

【答案】

【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,然后把z代入,整理后利用复数相等的条件可求得的值.

【详解】，

，

，解得.

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题.

18．设集合，，若“”是“”的充分不必要条件，试求满足条件的实数组成的集合.

【答案】

【分析】求解一元二次方程解得集合，根据，对集合进行讨论，即可容易求得参数的取值.

【详解】∵，

由于“”是“”的充分不必要条件.∴.

当时，得；

当时，由题意得或.

当时，得；

当时，得.

综上所述，实数组成的集合是.

【点睛】本题考查根据充分性和必要性求参数范围，涉及分类讨论，属综合基础题.

19．已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）.

(1)求函数f（x）的解析式；

(2)求函数f（x）的递增区间.

【答案】(1)f（x）＝x3﹣x+3

(2)递增区间（﹣∞，），（，+∞）

【分析】（1）利用切点在切线上，可求出,再利用导数的几何意义可求出,然后由即可求出,从而得到函数的解析式；

（2）由即可求出.

【详解】(1)∵切点为（1，3），∴k+1＝3，得k＝2，

∵f'（x）＝3x2+a，∴f'（1）＝3+a＝2，得a＝﹣1，

则f（x）＝x3﹣x+,由f（1）＝3得b＝3.∴f（x）＝x3﹣x+3.

(2)因为，可得f′（x）＝3x2﹣1，令3x2﹣1＞0，解得x或x.

所以函数f（x）的递增区间（﹣∞，），（，+∞）.

20．如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析．

（Ⅱ）

【详解】试题分析：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得各点坐标，从而可得各向量坐标，根据向量数量积为0则两向量垂直，可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面．（2）根据向量垂直数量积等于0可求得平面的一个法向量，由数量积公式可求得两法向量所成角的二面角．两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，所以观察图像可得所求二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的平面角的余弦值等于两法向量余弦值的绝对值．

试题解析：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

依题设，．

.

（1） ，

，即

又，平面．

（2）由（1）知为面的一个法向量．

设向量是平面的法向量，则，

．

令，则，．

所以

观察可知二面角的平面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

【解析】1线面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题．

【方法点晴】

本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．用空间向量法解题时一定要注意二面角的余弦值等于两法向量夹角的余弦值或其绝对值，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．

21．已知椭圆:的右焦点为 ，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标；

（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ），左顶点的坐标是. （Ⅱ）或.

【分析】（Ⅰ）利用椭圆的右焦点为F1（1，0），离心率为，建立方程，结合b2＝a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理面结合△PAB的面积为，即可求直线AB的方程．

【详解】解：（Ⅰ）由题意可知：c＝1，，所以a＝2，所以b2＝a2﹣c2＝3．

所以椭圆C的标准方程为，左顶点P的坐标是（﹣2，0）．

（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．

由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．

所以△＝36m2+36（3m2+4）＞0，y1+y2，y1y2．

所以△PAB的面积S．

因为△PAB的面积为，所以．

令t，则，解得t1（舍），t2＝2．

所以m＝±．

所以直线AB的方程为xy﹣1＝0或xy﹣1＝0．

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．

22．设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.

(1)求                                (2)证明:

【答案】（1）；（2）详见解析.

【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.

试题解析：（1）函数的定义域为，

.

由题意可得，.故，.

（2）证明：由（1）知，，

从而等价于.

设函数，则.

所以当，；

当时，.

故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.

设函数，则.

所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.

综上，当时，，即.

【解析】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.