2.3　数学归纳法(二)

[学习目标]

1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．

2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．

[知识链接]

1．数学归纳法的两个步骤有何关系？

答案　使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？

答案　与正整数n有关的命题

[预习导引]

1．归纳法

归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．

2．数学归纳法

(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；

(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；

(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．

要点一　用数学归纳法证明不等式问题

例1　用数学归纳法证明：

＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．

证明　(1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.

因为<，所以不等式成立．

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，

即＋＋＋…＋<1－，

则当n＝k＋1时，

＋＋＋…＋＋<1－＋

＝1－＝1－<1－＝1－，

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．

规律方法　用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．

跟踪演练1　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．

证明　(1)当n＝2时，左＝1＋＝，右＝，左>右，

∴不等式成立．

(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即

…>，

那么当n＝k＋1时，

…>

·＝＝>

＝＝，

∴n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．

要点二　用数学归纳法证明整除性问题

例2　用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．

证明　①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．

②假设n＝k(k∈N*)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，

f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9

＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，

由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，

而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，

所以f(k＋1)能被36整除．

由①②可知，对任意的n∈N*，f(n)能被36整除．

规律方法　应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．

跟踪演练2　用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．

证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．

那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1

＝36(62k－1＋1)－35.

∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，

∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．

由(1)，(2)知命题成立．

要点三　用数学归纳法证明几何问题

例3　用数学归纳法证明凸n边形的对角线有n(n－3)条．

证明　①当n＝3时，n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确，

即凸k边形的对角线有k(k－3)条，

当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.

∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1

＝(k2－k－2)

＝(k＋1)(k－2)

＝(k＋1)[(k＋1)－3]

故当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)知，对任意n≥3，n∈N*，命题成立．

规律方法　用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．

跟踪演练3　平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝.

证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，

∴当n＝2时，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)，

那么，当n＝k＋1时，

任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为

f(k)＝k(k－1)，

l与其他k条直线交点个数为k，

从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k

＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)

＝(k＋1)[(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)，(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．

要点四　归纳—猜想—证明

例4　在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：＋＋…＋＜.

(1)解　由条件得2bn＝an＋an＋1，

a＝bnbn＋1.

由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由上可得结论成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立．

即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)

＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，

bk＋1＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②，可知an＝n(n＋1)，

bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．

(2)证明　＝＜.

n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.

故＋＋…＋

＜＋

＝＋

＝＋＜＋＝.

综上，原不等式成立．

规律方法　探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．

跟踪演练4　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．

解　S1＝＝；S2＝＋＝；

S3＝＋＝；S4＝＋＝.

可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝(n∈N*)．

下面我们用数学归纳法证明这个猜想．

(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，

猜想成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即

＋＋＋…＋＝，那么，

＋＋＋…＋

＋＝＋

＝＝＝，

所以，当n＝k＋1时猜想也成立．

根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．

1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)

A．n＝6时该命题不成立

B．n＝6时该命题成立

C．n＝4时该命题不成立

D．n＝4时该命题成立

答案　C

解析　∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．

2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成(　　)

A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确

B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确

C．假设n＝k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确

D．假设n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确

答案　B

解析　因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.

3．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________．

答案　n＝3时是否成立

解析　n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．

4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________．

答案　(2k＋2)＋(2k＋3)

解析　当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．

1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．

2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.

3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设．

一、基础达标

1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)

A．1  B．1＋2 

C．1＋2＋3  D．1＋2＋3＋4

答案　D

解析　等式左边的数是从1加到n＋3.

当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.

2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)

A．2  B．3

C．5  D．6

答案　C

解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.

3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

答案　B

解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.

4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是(　　)

A．增加了一项

B．增加了两项和

C．增加了B中的两项，但又减少了一项

D．增加了A中的一项，但又减少了一项

答案　C

解析　当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.

5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．

答案　(k＋3)3

解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________．

答案　Sn＝

解析　S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.

7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.

证明　(1)当n＝1时．a1＝S1＝，

∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，

∴n＝1时，结论成立．

(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝－.

当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk

＝－

＝－

＝－.

∴a＋2ak＋1－1＝0，

解得ak＋1＝－(an>0)，

∴n＝k＋1时，结论成立．

由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝－.

二、能力提升

8．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　)

A．f(k)＋k－1  B．f(k)＋k＋1

C．f(k)＋k  D．f(k)＋k－2

答案　A

解析　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．

9．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．

②假设n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

答案　D

解析　从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．

10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．

答案　＋＋…＋＋＋>－

解析　观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.

11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．

证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即＋＋…＋>.

则当n＝k＋1时，

＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋

＋＞＋

＞＋

＝，

所以当n＝k＋1时不等式也成立．

由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．

12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．

解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.

∴Sn＝－(n≥2)．

则有：S1＝a1＝－，

S2＝－＝－，

S3＝－＝－，

S4＝－＝－，

由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．

用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．

(2)假设n＝k(k∈N*)猜想成立，

即Sk＝－成立，

那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－

＝－

＝－＝－.

即n＝k＋1时猜想成立．

由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．

三、探究与创新

13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若不等式··…·≤对任意n∈N*，试猜想出实数m的最小值，并证明．

解　(1)设数列{an}公差为d(d＞0)，

由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，

解得d＝1或d＝0(舍去)．

所以，an＝1＋(n－1)·1＝n.

(2)不等式等价于···…·≤，

当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；

而＞，所以猜想，m的最小值为.

下面证不等式···…·≤对任意n∈N*恒成立．

下面用数学归纳法证明：

证明　①当n＝1时，≤＝，成立．

②假设当n＝k时，不等式···…·≤成立，

当n＝k＋1时，···…··≤·，

只要证·≤，

只要证≤，

只要证≤2k＋2，

只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．

由①②可知，对任意n∈N*，不等式···…·≤恒成立．