人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法同步练习题
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1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为( )
A.1 B.1+a+a2
C.1+a D.1+a+a2+a3
2.用数学归纳法证明“凸n(n≥3,n∈N)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1时增加的是( )
A. B.π C. D.2π
3.利用数学归纳法证明+++…+<1(n∈N*,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是( )
A.增加了这一项
B.增加了和两项
C.增加了和两项,同时减少了这一项
D.以上都不对
4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( )
A.假设n=k(k∈N*)时正确,再推n=k+1时正确
B.假设n≤k(k∈N*)时正确,再推n=k+2时正确
C.假设n=2k+1(k∈N*)时正确,再推n=2k+3时正确
D.假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推n=2k+1时正确
5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立
D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
6.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*且n>1)时,假设当n=k时不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是________.
7.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是________.
8.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________.
9.已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式;
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式.
10.用数学归纳法证明对一切n∈N*,1+++…+≥.
参考答案
1.B
2.解析:如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是:∠1+∠2+∠3=π,故选B.
答案:B
3.解析:不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为+++…+;当n=k+1时,左端为+++…+++,对比两式,可得结论.
答案:C
4.解析:因为n为正奇数,据数学归纳法证题步骤知,第二步应先假设第k(k∈N*)个正奇数成立,本题即假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推第k+1个正奇数即n=2k+1时正确.
答案:D
5.解析:对于A项,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A项错误.
对于B项,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B项错误.
对于C项,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C项错误.
对于D项,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D项.
答案:D
6.1+++…++++…+<k+1
7.解析:∵当n=k时,左边=(1+1)(2+2)(3+3)…(k+k),
当n=k+1时,左边=(1+1)(2+2)(3+3)+…+(k+k)(k+1+k+1),
比较两式可知,由n=k到n=k+1,左边需添加的因式为(2k+2).
答案:2k+2
8.解析:采取凑配法,凑出归纳假设k3+5k来,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
答案:(k3+5k)+3k(k+1)+6
9.(1)解:a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,
a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,
猜想an=5×2n-2(n≥2,n∈N*).
(2)证明:①当n=2时,a2=5×22-2=5,猜想成立.
②假设当n=k时成立,即ak=5×2k-2(k≥2,k∈N*),
当n=k+1时,由已知条件和假设有
ak+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+5+10+…+5×2k-2
=5+=5×2k-1.
故n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,对n≥2,n∈N*,有an=5×2n-2,
所以数列{an}的通项an=
10.证明:(1)当n=1时,左边=1,右边==1,不等式成立.
(2)假设当n=k时,不等式成立,
即1+++…+≥,
则当n=k+1时,要证1+++…++≥,
只需证+≥.
因为-
=-
=
=≤0,
所以+≥,
即1+++…++≥,
所以当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)知,不等式对一切n∈N*都成立.
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