人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法学案设计

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数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.
1.用数学归纳法证明命题的步骤为:
①验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础;
②假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据.
eq \\ac(○,3)结论.
2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证.
3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;
(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化
二．基本训练
1.已知某个命题与正整数有关,如果当时该命题成立,那么可以推得时该命题也成立.现已知时该命题不成立,则( )
A 时该命题成立 B 时该命题不成立
C 时该命题不成立 D 时该命题成立
2．用数学归纳法证明2n>n2 (n∈N,n5),则第一步应验证n= ;
3．用数学归纳法证明:时, ,第一步验证不等式
成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .
三、例题分析
例1:已知,证明:.
例2、求证：
例3.是否存在正整数m使得对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在说明理由。
例4.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.
例5.设f(k)满足不等式的自然数x的个数
（1）求f(k)的解析式；
（2）记，求的解析式；
（3）令，试比较与的大小。
三、课堂小结
1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法;
2用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范;
3两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是一凑假设,二凑结论
四、作业 同步练习 数学归纳法
1．若f（n）=1+ （n∈N*），则当n=1时，f（n）为
（A）1（B）
（C）1+ （D）非以上答案
2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是
（A）1（B）1+a
（C）1+a+a2（D）1+a+a2+a3
3.用数学归纳法证明
1－＋－,则从k到k＋1时,左边应添加的项为
(A) (B)
(C) － (D) －
4．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得
（A）当n=6时该命题不成立； （B）当n=6时该命题成立
（C）当n=4时该命题不成立 （D）当n=4时该命题成立
5. 则Sk+1 =
(A) Sk + (B) Sk +
(C) Sk + (D) Sk +
6．由归纳原理分别探求：
(1)凸n边形的内角和f(n)= ;
(2)凸n边形的对角线条数f(n)= ;
(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)= .为真，进而需验证n= ，命题为真。
7．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n123…(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为 .
8.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.
9. 求证：（）
10.


11．已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中n∈N,n3,,试比较
AN与Bn的大小.
答案
基本训练 1.C 2. 5 3.
例题分析
1.证明:用数学归纳法证明.
(1)当时,左边=,右边,等式成立;
(2)假设当时等式成立,即有:
.
那么当时,
左边=
=右边;
所以当时等式也成立.
综合(1)(2)知对一切,等式都成立.
思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当时向目标式靠拢是关键.
2.证明：（1）当n=1时，，原不等式成立
（2）设n=k时，原不等式成立
即成立，当n=k+1时，
即n=k+1时，命题成立
综合（1）、（2）可得：原命题对恒成立。
3.证明：由得，，，，
，由此猜想m=36
下面用数学归纳法证明
（1）当n=1时，显然成立。
（2）假设n=k时，f(k)能被36整除，即能被36整除；当n=k+1时，
由于是2的倍数，故能被36整除，这就说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除
由（1）（2）可知对一切正整数n都有能被36整除，m最大值为36。
4.解: (1)当时,一个圆把平面分成两部分,此时, 即命题成立;
(2)假设当时命题成立,即个圆把平面分成个部分.那么当时,这个圆中的个把平面分成个部分.第个圆被前个圆分成条弧,这条弧中的每一条把所在的部分分成了2块,这时共增加个部分,故个圆把平面分成个部分,这说明当时命题也成立.
综上所述,对一切,命题都成立.
例5.设f(k)满足不等式的自然数x的个数
（1）求f(k)的解析式；
（2）记，求的解析式；
（3）令，试比较与的大小。
5.解：（1）原不等式
（2）
（3）
n=1时，；n=2时，
n=3时，；n=4时，
n=5时，；n=6时，
猜想：时下面用数学归纳法给出证明
当n=5时，，已证（2）假设时结论成立即
那么n=k+1时，而
在范围内，恒成立则，即
由（1）（2）可得，猜想正确，即时，
综述：当n=2,4时，当n=3时，n=1或时，。
作业
1—5、CCDCC
9.证：① 时 左右
② 假设时 成立
即：
当时
左

即：命题成立
综上所述 由①②对一切命题成立.
10. 分析：