人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法学案设计

数学归纳法的典型例题分析

例1 用数学归纳法证明等式

时所有自然数 都成立。

证明 （1）当 时，左式 ，右式 ，等式成立。

（2）假设当 时等式成立，

即

则

则 时，等式也成立。

由（1）（2）可知，等式对 均成立。

　　评述 在利用归纳假设论证 时等式成立时，注意分析 与 的两个等式的差别。 时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由 变到 因此在证明中，右式中的 应与 合并，才能得到所证式。因而，在论证之前，把 时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。

由例1可以看出，在数学归纳法证明过程中，要把握好两个关键之外：一是 与 的关系；二是 与 的关系。

例2 用数学归纳法证明

对任意自然数 ， 都能被17整除。

证明 （ⅰ）当 时，

能被17整除，命题成立。

（ⅱ）设 时， 能被17整除。

则 时，

由归纳假设， 能被17整除， 也能被17整除，所以 能被17整除。

由（ⅰ）（ⅱ）可知，对任意 ， 都能被17整除。

　　评述　用数学归纳法证明整除问题，常常把 用 表示。上例中的 还可写成

　　　　　　　 ，

易知它能被17整除。

例3 用数学归纳法证明

…

证明 （ⅰ）当 时，

左式

右式

∵   ∴

即 时，原不等式成立。

（ⅱ）假设 （ ）时，不等式成立，

即

则 时，

左边

右边

要证左边 右边

只要证

只要证

只要证

而上式显然成立，所以原不等式成立。

即 时，左式 右式

由（ⅰ）（ⅱ）可知，原不等式对大于1的自然数均成立。

　　评述 用数学归纳法证明不等式时，应分析 与 的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式的方法。如上题，关键是证明不等式 。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。

例4 在数列 中，若它的前 项和 （ ）

1）计算 ， ， ， ；

2）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论。

解 （1）由题意， ，即   ∴

  即

∴

即

∴

∴

（2）猜想

证明 ⅰ） 时，命题成立。

ⅱ）假设 时，命题成立，即

当 时，

∴

又

因而

解得

即 时，命题也成立。

由ⅰ）ⅱ）可知，命题对 均成立。