数学2.2直接证明与间接证明综合训练题

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课时提升作业(六)

分　析　法

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.下列表述：

①综合法是由因导果法；

②综合法是顺推法；

③分析法是执果索因法；

④分析法是间接证明法；

⑤分析法是逆推法.

其中正确的语句有(　　)

A.2个    B.3个    C.4个    D.5个

【解析】选C.结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确.

2.要证明+<+(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是(　　)

A.综合法        B.类比法

C.分析法        D.归纳法

【解析】选C.要证+<+，

只需证2a+7+2<2a+7+2，

只需证<，

只需证a(a+7)<(a+3)(a+4)，

只需证0<12，

故选用分析法最合理.

3.已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)，则P与Q的大小关系是(　　)

A.P>Q    B.P≥Q   C.P<Q    D.P≤Q

【解题指南】可考虑用作差法比较大小.

【解析】选A.要比较P，Q的大小，只需比较P-Q与0的关系.因为P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2，又a，b，c不全相等，

所以P-Q>0，即P>Q.

【误区警示】本题易忽略a，b，c为不全相等的实数这一条件而误选B.

4.对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是(　　)

A.m⊥l，m∥α，l∥β    B.m⊥l，α∩β=m，l⊂α

C.m∥l，m⊥α，l⊥β    D.m∥l，l⊥β，m⊂α

【解析】选D.A：与两条相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面平行或重合；D是成立的，故选D.

5.设a，b，m都是正整数，且a<b，则下列不等式中恒不成立的是(　　)

A.<<1       B.≥

C.≤≤1       D.1<<

【解析】选B.可证明<成立，要证明<，

由于a，b，m都是正整数，故只需证ab+am<ab+bm，即证(a-b)m<0，因为a<b，所以(a-b)m<0成立.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.下列条件①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0中能使不等式+≥2成立的有　　　　(填上正确答案的序号).

【解析】要使不等式+≥2成立，需使不等式中a，b同号，所以其正确答案序号为①③④.

答案：①③④

7.(2015·大连高二检测)当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立的m的取值范围是　　　　　.

【解题指南】可考虑运用变交分离法解题，同时注意利用函数的单调性.

【解析】由x2+mx+4<0得m<-x-，因为y=-(x+)在(1，2)上单调递增，所以y∈(-5，-4)，所以m≤-5.

答案：m≤-5

8.(2015·蚌埠高二检测)如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件

　　　　时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形).

【解析】本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为CC1⊥底面A1B1C1D1，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可.

答案：对角线互相垂直

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知a，b，c为互不相等的正数且abc=1，求证：++<++.

【证明】要证原不等式成立，即证++<bc+ac+ab，

也就是证明2+2+2<2bc+2ac+2ab.

因为a，b，c为互不相等的正数且abc=1，

所以bc+ac>2=2；ac+ab>2=2；

ab+bc>2=2；

相加得2+2+2<2bc+2ac+2ab.

所以，原不等式成立.

10.如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为正方形，侧棱垂直于底面，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.

求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.

【证明】要证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，只需证平面B1EF内有一线垂直于平面BDD1B1，即EF⊥平面BDD1B1.

要证EF⊥平面BDD1B1，

只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，

即证EF⊥BD，EF⊥B1G.

而EF∥AC，AC⊥BD，

故EF⊥BD成立.

故只需证EF⊥B1G即可.

又因为△B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，

所以B1G⊥EF成立.

所以EF⊥平面BDD1B1成立，

从而问题得证.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2015·合肥高二检测)设甲：函数f(x)=|x2+mx+n|有四个单调区间，乙：函数g(x)=lg(x2+mx+n)的值域为R，那么甲是乙的(　　)

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件

C.充要条件       D.以上均不对

【解析】选A.对甲，要使f(x)=|x2+mx+n|有四个单调区间，只需要Δ=m2-4n>0即可；对乙，要使g(x)=lg(x2+mx+n)的值域为R，只需要u=x2+mx+n的值域包含区间(0，+∞)，只需要Δ=m2-4n≥0，所以甲是乙的充分不必要条件.

【延伸探究】把本题改为：甲：函数f(x)=x3+mx2+nx+p有三个单调区间；乙：函数g(x)=lg(x2+mx+n)定义域为R，则甲是乙的　　　　　条件.

【解析】对甲：f′(x)=x2+mx+n，要使甲成立，只要f′(x)=x2+mx+n有两个零点，即m2-4n>0；对乙：要使乙成立，只要x2+mx+n>0恒成立，即Δ=m2-4n<0，

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.

答案：既不充分也不必要

【补偿训练】要使a2+b2-a2b2-1≤0成立的充要条件是(　　)

A.|a|≥1且|b|≥1

B.|a|≥1且|b|≤1

C.(|a|-1)(|b|-1)≥0

D.(|a|-1)(|b|-1)≤0

【解题指南】将不等式等价转化可得其充要条件.

【解析】选C.a2+b2-a2b2-1≤0⇔a2(1-b2)+(b2-1)≤0⇔(b2-1)(1-a2)≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0⇔(|a|-1)(|b|-1)≥0.

2.(2015·枣庄高二检测)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若关于x的不等式f(x-1)≥0的解集为，则关于x的不等式f(x+1)≤0的解集为(　　)

A.        B.(-∞，2]∪       D.(-∞，-2]∪，所以y=f(x-1)的图象是开口向下的拋物线，与x轴的交点为(0，0)，(1，0).不等式f(x+1)≤0的解集为(-∞，-2]∪2

=(1+22)

=(1+22)×

=20.

因为a>b>c，a+b+c=0，

所以1>>.

所以=-1-<-1-，

即<-，

又=-1->-1-1=-2，

所以-2<<-.

所以15<|AB|2<60.

故<|AB|<2.

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