人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明测试题

 www.ks5u.com课时跟踪检测(六)　 反证法

一、选择题

1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)

A．假设三内角都不大于60°

B．假设三内角都大于60°

C．假设三内角至少有一个大于60°

D．假设三内角至多有两个大于60°

解析：选B　“至少有一个”即“全部中最少有一个”．

2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

解析：选D　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．

3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是(　　)

A.＝成立

B.＜成立

C.＝或＜成立

D.＝且＜成立

解析：选C　“大于”的否定为“小于或等于”．

 4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；

(2)所以∠B<90°；

(3)假设∠B≥90°；

(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.

这四个步骤正确的顺序应是(　　)

A．(1)(2)(3)(4)   B．(4)(3)(2)(1)

C．(3)(4)(1)(2)   D．(3)(4)(2)(1)

解析：选C　根据反证法证题的步骤可知选C.

5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有(　　)

A．0个   B．1个

C．2个   D．无穷多个

解析：选A　假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.

二、填空题

6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．

解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.

答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP

7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.

上述步骤的正确顺序为________．

解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.

答案：③①②

8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．

解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，

即AC⊂α，BD⊂α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，

∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面矛盾，

∴AC，BD异面．

答案：异面

三、解答题

9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.

证明：假设，都不小于2，

即≥2，≥2.

∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x，

∴2＋x＋y≥2(x＋y)，

即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，

∴，中至少有一个小于2.

10．已知f(x)＝ax＋(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．

证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，

则x0＜0且x0≠－1且ax0＝－，

由0＜ax0＜1⇒0＜－＜1，

解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，

所以假设不成立，

故方程f(x)＝0没有负数根．