数学选修1-22.2直接证明与间接证明课后作业题

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课时提升作业(七)

反　证　法

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.(2014·山东高考)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

A.方程x2+ax+b=0没有实根

B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根

C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根

D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根

【解析】选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”

【补偿训练】(2015·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设(　　)

A.三个内角都不大于60°

B.三个内角都大于60°

C.三个内角至多有一个大于60°

D.三个内角至多有两个大于60°

【解析】选B.三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确.

2.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是(　　)

A.无解        B.两解

C.至少两解       D.无解或至少两解

【解析】选D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”.

3.实数a，b，c满足a+2b+c=2，则(　　)

A.a，b，c都是正数

B.a，b，c都大于1

C.a，b，c都小于2

D.a，b，c中至少有一个不小于

【解析】选D.假设a，b，c均小于，则a+2·b+c<+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.

4.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)

A.一定是异面直线     B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线    D.不可能是相交直线

【解析】选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.

5.(2015·杭州高二检测)设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值(　　)

A.都大于2       B.至少有一个不大于2

C.都小于2       D.至少有一个不小于2

【解题指南】由基本不等式知三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.

【解析】选D.假设a+，b+，c+都小于2，

即a+<2，b+<2，c+<2，

所以++<6，

又a>0，b>0，c>0，

所以++

=++≥2+2+2=6.

这与假设矛盾，所以假设不成立.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.(2015·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是　　　　　　　　.

【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.

答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”

【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是　　　　　　　.

【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.

答案：“三角形中最少有两个内角是直角”

7.(2015·广州高二检测)用反证法证明命题：“已知a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为　　　　　　　　　.

【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.

命题“a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.

答案：a，b都不能被5整除

8.(2015·郑州高二检测)对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)=x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在好点，那么a的取值范围是　　　　.

【解析】假设f(x)=x2+2ax+1存在好点，亦即方程f(x)=x有实数根，所以x2+(2a-1)x+1=0有实数根，则Δ=(2a-1)2-4=4a2-4a-3≥0，

解得a≤-或a≥，故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是-<a<.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.

【证明】假设，，成等差数列，则+=2，

即a+c+2=4b.

又a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即b=，

所以a+c+2=4，

所以a-c-2=0，即(-)2=0，

所以=，从而a=b=c，

所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.

原假设错误，故，，不成等差数列.

【拓展延伸】用反证法证明数学命题的步骤

10.(2015·吉安高二检测)已知函数f(x)=x3-x2，x∈R.

(1)若正数m，n满足m·n>1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零.

(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)=f(b)，求证a+b<.

【证明】(1)假设f(m)<0且f(n)<0，

即m3-m2<0，n3-n2<0，

因为m>0，n>0，

所以m-1<0，n-1<0，

所以0<m<1，0<n<1，

所以mn<1这与m·n>1矛盾，

所以假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零.

(2)由f(a)=f(b)得a3-a2=b3-b2，

所以a3-b3=a2-b2，

所以(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)，

因为a≠b，所以a2+ab+b2=a+b，

所以(a+b)2-(a+b)=ab<，

所以(a+b)2-(a+b)<0，

所以a+b<.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2015·济南高二检测)(1)已知p3+q3=2，求证p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2.

(2)已知a，b∈R，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(　　)

A.(1)与(2)的假设都错误

B.(1)与(2)的假设都正确

C.(1)的假设正确；(2)的假设错误

D.(1)的假设错误；(2)的假设正确

【解析】选D.(1)的假设应为p+q>2；(2)的假设正确.

2.(2015·衡水高二检测)设a，b，c是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)

A.充分条件       B.必要条件

C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.必要性显然，充分性：若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P<0，Q<0，R>0，因为P<0，Q<0，即a+b<c，b+c<a，

所以a+b+b+c<c+a，即b<0，这与b>0矛盾，所以P，Q，R同时大于零.

【补偿训练】若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　)

A.钝角三角形      B.直角三角形

C.锐角三角形      D.不能确定

【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB+∠ADC=π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD，

∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时，才符合题意.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设　　　　.设全体质数为p1，p2，…，pn，令p=p1p2…pn+1.

显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有　　　　的质因数.这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.

【解析】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故p要么是质数，要么含有除p1，p2，…，pn之外的质因数.

答案：质数只有有限多个　除p1，p2，…，pn之外

4.(2015·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是　　　　　(填序号).

【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.

【解析】若a=，b=，则a+b=1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a=b=1，则a+b=2，故②不能推出.若a=-2，b=1，则a2+b2>2，故④不能推出.

对于③，即a+b>2，则a，b中至少有一个大于1.

反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

答案：③

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.(2015·宜昌高二检测)已知函数f(x)=，如果数列{an}满足a1=4，an+1=f(an)，求证：当n≥2时，恒有an<3成立.

【证明】假设an≥3(n≥2)，

则由已知得an+1=f(an)=，

所以当n≥2时，==·

≤=<1(因为an-1≥3-1)，

又易证an>0，所以当n≥2时，an+1<an，

所以当n>2时，an<an-1<…<a2；

而当n=2时，a2===<3，

所以当n≥2时，an<3；

这与假设矛盾，故假设不成立，

所以当n≥2时，恒有an<3成立.

【一题多解】由an+1=f(an)得an+1=，

所以=-+=-2+≤，

所以an+1<0或an+1≥2.

(1)若an+1<0，则an+1<0<3，

所以结论“当n≥2时，恒有an<3”成立.

(2)若an+1≥2，则当n≥2时，

有an+1-an=-an

==≤0，

所以an+1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减.

由a2===<3，

可知an≤a2<3，在n≥2时成立.

综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有an<3成立.

6.先解答(1)，再通过类比解答(2)：

(1)①求证：tan=；

②用反证法证明：函数f(x)=tanx的最小正周期是π.

(2)设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论.

【解题指南】本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时，我们常用的思路是：由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法.

【解析】(1)①tan==.

②假设T是函数f(x)=tanx的一个周期，且0<T<π，则对任意x≠+kπ，k∈Z，有tan(x+T)=tanx，令x=0得

tanT=0，而当0<T<π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立.

(2)由(1)可类比出函数f(x)是周期函数，它的最小正周期是4a.

因为f(x+2a)=f(x+a+a)=

==-，

所以f(x+4a)=f=-

=-=f(x).

【拓展延伸】类比推理中的反证法

(1)类比推理的一般步骤是：①找出两类事物之间的相似性或一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

(2)在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例.

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