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    高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明巩固练习

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明巩固练习,共5页。

    学业分层测评

    (建议用时:45分钟)

    [学业达标]

    一、选择题

    1.用反证法证明三角形中最多只有一个内角为钝角,下列假设中正确的是(  )

    A.有两个内角是钝角

    B.有三个内角是钝角

    C.至少有两个内角是钝角

    D.没有一个内角是钝角

    【解析】 最多有一个的反设是至少有两个,故选C.

    【答案】 C

    2.下列命题错误的是(  )

    A.三角形中至少有一个内角不小于60°

    B.四面体的三组对棱都是异面直线

    C.闭区间[ab]上的单调函数f(x)至多有一个零点

    D.设abZ,若ab中至少有一个为奇数,则ab是奇数

    【解析】 ab为奇数ab中有一个为奇数,另一个为偶数,故D错误.

    【答案】 D

    3自然数abc中恰有一个偶数的否定正确的为(  )

    【导学号:19220029

    Aabc都是奇数

    Babc都是偶数

    Cabc中至少有两个偶数

    Dabc中都是奇数或至少有两个偶数

    【解析】 自然数abc的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数;(2)2个奇数,1个偶数;(3)1个奇数,2个偶数;(4)3个都是偶数.所以否定正确的是abc中都是奇数或至少有两个偶数.

    【答案】 D

    4.设xyz都是正实数,axbycz,则abc三个数(  )

    A.至少有一个不大于2

    B.都小于2

    C.至少有一个不小于2

    D.都大于2

    【解析】 abc都小于2,则abc<6

    abcxyz6

    显然矛盾,所以C正确.

    【答案】 C

    5(2016·温州高二检测)用反证法证明命题:一个三角形中不能有两个直角的过程归纳为以下三个步骤:ABC90°90°C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,AB90°不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设三角形的三个内角ABC中有两个直角,不妨设AB90°,正确顺序的序号为(  )

    A①②③  B①③②

    C②③① D③①②

    【解析】 根据反证法的步骤,应该是先提出假设,再推出矛盾,最后否定假设,从而肯定结论.

    【答案】 D

    二、填空题

    6(2016·南昌高二检测)命题任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形的结论的否定是__________________

    【解析】 至少有一个的否定是没有一个”.

    【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形

    7(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题如果a>b,那么>时,假设的内容应是________

    【解析】 的关系有三种情况:><,所以>的反设应为<”.

    【答案】 <

    8(2016·石家庄高二检测)ab是两个实数,给出下列条件:ab1ab2ab>2a2b2>2.

    其中能推出ab中至少有一个大于1的条件是________(填序号)

    【解析】 ab,则ab1,但a<1b<1,故不能推出.若ab1,则ab2,故不能推出.

    a=-2b1,则a2b2>2,故不能推出.

    对于,即ab>2,则ab中至少有一个大于1.

    反证法:假设a1b1,则ab2ab>2矛盾,因此假设不成立,故ab中至少有一个大于1.

    【答案】 

    三、解答题

    9已知xRax2b2xcx2x1,试证明:abc至少有一个不小于1.

    【导学号:19220030

    【证明】 假设abc均小于1,即a<1b<1c<1,则有abc<3.

    而与abc2x22x32233矛盾,故假设不成立,即abc至少有一个不小于1.

    10已知三个正数abc成等比数列,但不成等差数列,求证: 不成等差数列.

    【证明】 假设成等差数列,则2,两边同时平方得ac24b.

    b2ac代入ac24b,可得ac2b,即abc成等差数列,这与abc不成等差数列矛盾.

    所以不成等差数列.

    [能力提升]

    1有以下结论:

    已知p3q32,求证pq2,用反证法证明时,可假设pq2

    已知abR|a||b|<1,求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|1.

    下列说法中正确的是(  )

    A的假设都错误

    B的假设都正确

    C的假设正确;的假设错误

    D的假设错误;的假设正确

    【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准.在中应假设pq>2,故的假设是错误的,而的假设是正确的.

    【答案】 D

    2.已知命题ABC中,AB.求证sin Asin B”.若用反证法证明,得出的矛盾是(  )

    A.与已知条件矛盾

    B.与三角形内角和定理矛盾

    C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾

    D.与大边对大角定理矛盾

    【解析】 证明过程如下:假设sin Asin B,因为0<A0<B,所以ABABπ.其中ABAB矛盾;ABπ与三角形内角和定理矛盾,所以假设不成立.所以sin Asin B.

    【答案】 C

    3(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:是乙或丙获奖,乙说:甲、丙都未获奖,丙说:我获奖了,丁说:是乙获奖了,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是________

    【解析】 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说的对,同时甲、乙中只有一人说的对,假设乙说的对,这样丙就说的错,丁就说的对,也就是甲也说的对,与甲说的错矛盾,所以乙说的错,从而知甲、丙说的对,所以丙为获奖歌手.

    【答案】 

    4(2016·温州高二检测){an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,cnanbn,证明:数列{cn}不是等比数列.

    【证明】 假设数列{cn}是等比数列,则

    (anbn)2(an1bn1)(an1bn1)

    因为{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为pq

    所以aan1an1bbn1bn1.

    代入并整理,得

    2anbnan1bn1an1bn1

    anbn

    2.

    pq异号时,<0,与相矛盾;

    pq同号时,由于pq

    所以>2,与相矛盾.

    故数列{cn}不是等比数列.

     

     

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