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    数学选修1-11.2充分条件与必要条件课时训练

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    这是一份数学选修1-11.2充分条件与必要条件课时训练,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

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    课时提升作业 五

    充要条件的应用

    一、选择题(每小题5分,共25分)

    1.(2015·安徽高考)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的 (  )

    A.充分必要条件

    B.充分不必要条件

    C.必要不充分条件

    D.既不充分也不必要条件

    【解析】选C.因为p:x<3,q:-1<x<3,所以qp,但由p不能得出q,所以p是q成立的必要不充分条件,故选C.

    2.(2016·长治高二检测)在下列3个结论中,正确的有 (  )

    x2>4是x3<-8的必要不充分条件;

    ABC中,AB2+AC2=BC2ABC为直角三角形的充要条件;

    若a,bR,则a2+b20a,b不全为0的充要条件.

    A.①②   B.②③   C.①③   D.①②③

    【解析】选C.对于,由x3<-8x<-2x2>4,但是x2>4x>2或x<-2x3>8或x3<-8,不一定有x3<-8,故正确;对于,当B=90°或C=90°时不能推出AB2+AC2=BC2,故错;对于,由a2+b20a,b不全为0,反之,由a,b不全为0a2+b20,故正确.

    【误区警示】本题易错选,原因是忽视了斜边、直角边的确定.

    3.在ABC中,·=0“△ABC是直角三角形的 (  )

    A.必要不充分条件   B.充分不必要条件

    C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

    【解析】选B.在ABC中,由·=0可知B为直角,则“△ABC是直角三角形.三角形是直角三角形,不一定B=90°,所以在ABC中,·=0“△ABC是直角三角形的充分不必要条件.

    4.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的 (  )

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件  

    C.充要条件

    D.既不充分也不必要条件

    【解题指南】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解.

    【解析】选A.由题意, x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1,例如x=0,y=3,故p是q的充分不必要条件.

    5.(2016·宁德高二检测)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 (  )

    A.m=-2       B.m=2 

    C.m=-1       D.m=1

    【解题指南】利用二次函数的图象特点来判断.

    【解析】选A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.

    二、填空题(每小题5分,共15分)

    6.下列命题中是假命题的是    .(填序号)

    (1)x>2且y>3是x+y>5的充要条件

    (2)x>1|x|>0的充分不必要条件

    (3)b2-4ac<0是ax2+bx+c<0(a0)的解集为R的充要条件

    (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形

    【解析】(1)x>2y>3x+y>5,

    x+y>5x>2y>3,

    x>2y>3x+y>5的充分不必要条件.

    (2)x>1,|x|>0成立,|x|>0,x<0x>0,不一定大于1,x>1|x|>0的充分不必要条件.

    (3)b2-4ac<0ax2+bx+c<0的解集为R,

    ax2+bx+c<0的解集为Ra<0b2-4ac<0,

    b2-4ac<0ax2+bx+c<0的解集为R的必要不充分条件.

    (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形.

    答案:(1)(3)

    7.(2016·池州高二检测)设函数f(x)=ax+b(0x1),则a+2b>0是f(x)>0在上恒成立的    条件.

    【解析】由

    所以a+2b>0.

    而仅有a+2b>0,无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立.

    答案:必要不充分

    补偿训练】设{an}是等比数列,则a1<a2<a3数列{an}是递增数列

        条件.

    【解析】{an}为等比数列,an=a1·,由a1<a2<a3,得a1<a1q<a1q2,即a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,则数列{an}为递增数列.反之也成立.

    答案:充要

    8.ABC中,角A,B,C成等差数列sinC=(cosA+sinA)cosB成立的

        条件.

    【解析】条件:ABC中,角A,B,C成等差数列B=;结论:sinC=

    (cosA+sinA)cosBsin(A+B)=cosAcosB+sinAcosBcosAsinB=

    cosAcosBcosA=0或sinB=cosBA=或B=.所以条件是结论的充分不必要条件.

    答案:充分不必要

    三、解答题(每小题10分,共20分)

    9.(教材P12习题1.2A组T4改编)求圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.

    【解析】因为圆是轴对称图形,所以圆面积被y轴平分等价于圆心在y轴上,即点(a,b)在y轴上,所以a=0是圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.

    10.证明:对于x,yR,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.

    【解题指南】要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条件.

    【证明】必要性:对于x,yR,如果x2+y2=0,

    则x=0,y=0,即xy=0,

    故xy=0是x2+y2=0的必要条件;

    不充分性:对于x,yR,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y20,

    故xy=0是x2+y2=0的不充分条件.

    综上所述:对于x,yR,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.

    一、选择题(每小题5分,共10分)

    1.(2016·保定高二检测)设a,b为向量,则|a·b|=|a||b|ab的 (  )

    A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

    C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

    【解析】选C.|a·b|=|a||b||cosα|=|a||b|,得cosα=±1,α=0或π,故ab,反之,ab,则a,b的夹角为0或π得,|a·b|=|a||b|,故|a·b|=|a||b|是ab的充要条件.

    2.(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx,则b<0f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等的 (  )

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件

    C.充分必要条件

    D.既不充分也不必要条件

    【解题指南】根据充分必要条件的定义来推断是pq还是qp.

    【解析】选A.由题意知f(x)=x2+bx=-,最小值为-,令t=x2+bx,则f(f(x))=f(t)=t2+bt=-,t-.当b<0时,f(f(x))的最小值为-,所以b<0能推出f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等;当b=0时,f(f(x))=x4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所以f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等不能推出b<0.

    补偿训练】已知真命题abc>dabef,那么c>def的 (  )

    A.充分条件     B.必要条件

    C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

    【解析】选B.因为abc>d,abef,所以efc>d.但是c>d不一定推出ef,

    c>def的必要条件.

    二、填空题(每小题5分,共10分)

    3.(2016·温州高二检测)已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的    .(填充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件既不充分也不必要条件)

    【解题指南】化简条件q中的k值,再确定p与q的关系.

    【解析】因为直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,

    所以=1,解得k=±,即条件q:k=±.

    若p成立,则q成立;反之,若q成立,推不出p成立.所以p是q的充分不必要条件.

    答案:充分不必要条件

    4.(2016·焦作高二检测)a=对任意的正数x,均有x+1    条件.

    【解析】当a=时,对任意的正数x,x+=x+2=1,而对任意的正数x,要使x+1,只需f(x)=x+的最小值大于或等于1即可,而在a为正数的情况下,f(x)=x+的最小值为f()=21,得a,故为充分不必要条件.

    答案:充分不必要

    三、解答题(每小题10分,共20分)

    5.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)0}.

    (1)求实数a的取值范围,使它成为MP={x|5<x8}的充要条件.

    (2)求实数a的一个值,使它成为MP={x|5<x8}的一个充分但不必要条件.

    (3)求实数a的取值范围,使它成为MP={x|5<x8}的一个必要但不充分条件.

    【解题指南】用数轴表示两个集合,把条件的充要性转化为集合间的关系解决.

    【解析】由MP={x|5<x8}知,a8.

    (1)MP={x|5<x8}的充要条件是-3a5.

    (2)MP={x|5<x8}的充分但不必要条件,显然,a在中任取一个值都可.

    (3)若a=-5,显然MP=是MP={x|5<x8}的必要但不充分条件.

    故a<-3时为必要不充分条件.

    6.(2016·益阳高二检测)证明0a函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-,4]上为减函数的充分不必要条件.

    【证明】充分性:由已知0a,

    对于函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,

    当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-,4]上是减函数.当a0时,由已知0<a,得6.

    二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2图象是抛物线,其开口向上,

    对称轴方程为x==-16-1=5.

    所以二次函数f(x)在(-,4]上是减函数.

    非必要性:当a0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2的图象是抛物线,其对称轴为x==-1.

    因为二次函数f(x)在(-,4]上是减函数,

    所以0<a.

    显然,函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在(-,4]上是减函数时,也有a=0.

    由于,所以0a不是函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-,4]上为减函数的必要条件.

    综上所述,命题成立.

    补偿训练】已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p0且p1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

    【证明】充分性:当q=-1时,a1=p-1.

    当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当n=1时,上式也成立.

    于是==p,即数列{an}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.

    当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).

    因为p0且p1,

    所以==p.

    因为{an}为等比数列,

    所以==p=,所以q=-1.

    所以数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

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