人教版新课标A1.2充分条件与必要条件练习

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课时提升作业 四

充分条件与必要条件

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.“φ=”是“cosφ=0”的　(　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件,又是必要条件

D.既不是充分条件,也不是必要条件

【解析】选A.当φ=时,有cosφ=0,但当cosφ=0时,φ=kπ+,k∈Z.

2.(2016·嘉兴高二检测)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的　(　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件又是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选C.A∪B={x∈R|x<0,或x>2},

C={x∈R|x<0,或x>2},

因为A∪B=C,所以x∈A∪B⇒x∈C,且x∈C⇒x∈A∪B,

所以x∈A∪B是x∈C的充分条件,同时也是必要条件.

3.下列各小题中,p是q的充分条件的是　(　　)

①p:m<-2,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;

②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;

③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ.

A.①   B.③   C.②③   D.①②

【解析】选D.①y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则Δ=m2-4(m+3)>0,得m>6或m<-2,所以p是q的充分条件;

②因为=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以p是q的充分条件;

③当α=β=kπ+时,tanα,tanβ无意义,所以p是q的必要条件.

4.已知q是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的　(　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件,又是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选D.等比数列的单调性与首项和公比都有关系.

【误区警示】本题中的等比数列易与等差数列混淆,忽略首项的作用.

5.(2015·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是　(　　)

A.存在一条直线l,l⊂α,l∥β

B.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β

C.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β

D.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β

【解析】选C.A.存在一条直线l,l⊂α,l∥β,此时α,β可能相交.

B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.

C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件.

D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.

【补偿训练】(2015·佛山高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是　(　　)

A.1<x<3　　　　　   B.-1<x<1

C.<x<      D.<x<5

【解析】选C. x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识,易知只有C中由<x<可以推出0<x<1,其余均不可.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.设A,B是非空集合,则A∩B=A是A=B的　　　　条件(填“充分”“必要”).

【解析】当A∩B=A时,只能得出A⊆B,得不出A=B,但当A=B时,一定有A∩B=A,即由A=B可以推出A∩B=A.

答案:必要

7.设x,y∈R,那么“x>y>0”是“>1”的　　　　条件(填“充分”“必要”).

【解析】由>1⇒>0⇒x>y>0或x<y<0.

因此“x>y>0”能推断“>1”.

答案:充分

8.(2015·济南高二检测)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是　　　　　.

【解析】p:x>1,若p是q的充分条件,则p⇒q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≤1.

答案:(-∞,1]

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.判断“x=1”“x=2”“x=1或x=2”是方程x2-3x+2=0的充分条件还是必要条件.

【解析】当x=1时,方程成立,所以“x=1”是方程的充分条件,同理“x=2”、“x=1或x=2”都是方程的充分条件;

当方程成立时,x=1或x=2,所以“x=1”“x=2”是方程的充分条件,但不是必要条件,“x=1或x=2”既是方程的充分条件,也是方程的必要条件

10.(2015·昆明高二检测)已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.

(1)若命题p为真,求实数t的取值范围.

(2)若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-5>0,解得1<t<.

所以实数t的取值范围是.

(2)因为命题p是q的充分条件,所以{t|1<t<是不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0的解集的子集.

方法一:因为方程t2-(a+3)t+(a+2)=0的两根为1和a+2,

所以只需a+2≥,解得a≥.

即实数a的取值范围为.

方法二:令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因为f(1)=0,所以只需f≤0,解得a≥.

即实数a的取值范围为.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·新乡高二检测)“sinx=1”是“cosx=0”的　(　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件,又是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选A.当sinx=1时,由sin2x+cos2x=1得cos2x=0即cosx=0;所以“sinx=1”是“cosx=0”的充分条件,当cosx=0时,由sin2x+cos2x=1,得sin2x=1,即sinx=±1,因此由cosx=0不能推出sinx=1,因此“sinx=1”不是“cosx=0”的必要条件.

2.(2015·福州高二检测)集合A=,B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是

“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是　(　　)

A.   C.(-2,2)   D.

【解析】选C.A=={x|-1<x<1},B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a},因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即-2<b<2.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为　　　　.

【解析】由于x2<1即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意.

答案:②③④

4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β.则其中能使m∥α成立的充分条件有　　　　.

【解析】①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;

②m⊥n, n⊥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;

③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;

④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,m可能在平面α内.

答案:③

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2015·青岛高二检测)已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.

【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,

-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).

依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}(a>0),

所以解得a≥2,

则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,

即(-∞,2).

6.(2015·宝鸡高二检测)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈,B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.

【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.

【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得

y=+.

因为x∈,

所以y∈.

所以A=.

由|x-m|≥1,

解得x≥m+1或x≤m-1.

所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.

因为命题p是命题q的充分条件,

所以A⊆B.

所以m+1≤或m-1≥2,

解得m≤-或m≥3.

故实数m的取值范围是∪[3,+∞).

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