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高中数学人教版新课标A选修1-11.2充分条件与必要条件教学设计
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这是一份高中数学人教版新课标A选修1-11.2充分条件与必要条件教学设计，共10页。
归纳总结，核心必记
(1)充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
(2)充要条件
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
[问题思考]
(1)x>3是x>5的充分条件吗？
提示：不是．因为x>3x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．
(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．
(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？
提示：A＝B．
[思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？
名师指津：当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．
讲一讲
1．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC;
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a
(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；
反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.
因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；
由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a1; 当b>0时，<1，故若ab.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
练一练
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
[思考] 如何证明“p是q的充要条件”？
名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．
讲一讲
2．证明：a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0垂直的充要条件．
[尝试解答]
(1)(充分性)当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，
此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直．
当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，
若a＋2b＝0，则k1·k2＝·＝－1，两直线垂直．
(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在，则k1·k2＝·＝－1，
所以a＋2b＝0.
若两直线中直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
练一练
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：(充分性)：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
(必要性)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
已知p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
[思考1] 若p是q的充分条件，则A与B有什么关系？
名师指津：A⊆B．
[思考2] 若p是q的充分不必要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：AB．
[思考3] 若p是q的充要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：A＝B．
[思考4] 若p是q的既不充分也不必要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：BA，且AB．
讲一讲
3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[尝试解答]
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
练一练
3．若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
4．本讲中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．
2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3.
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1.
(2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，
则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，
则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊆B，且B⊆A，则p既不是q的充分条件，
也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3.
课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1 充分、必要条件的判断
1．“数列{an}为等比数列”是“an＝3n(n∈N*)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：B；
解析：当an＝3n时，{an}一定为等比数列，但当{an}为等比数列时，不一定有an＝3n，
故应为必要不充分条件．
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：A；
解析：由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．
3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：C；
解析：当a＝0时，两直线方程分别为x＝1和2x＝1，显然两直线平行；
反之，若两直线平行，必有1×(－2a)＝(－2a)×2，解得a＝0，故应为充要条件．
4．“sin A＝”是“A＝”的__________条件．
答案为：必要不充分
解析：由sin A＝不一定能推得A＝，例如A＝等；
但由A＝一定可推得sin A＝，所以“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．
题组2 充要条件的证明
5．函数y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是 ( )
A．1< a<2 B.< a<2 C．a<1 D．a<0
答案为：C；
解析：由指数函数性质得，当y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数时，2－a>1，解得a<1.
故选C.
6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－kx＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1
答案为：C；
解析：∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
由于{a|a<－1}⊆{a|a<0}，故选C.
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________．
答案为：－
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－.
9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x| x 2－5 x－24<0}，若N是M的必要条件，求a取值范围．
解：由(x－a)2<1，得a－1
故a的取值范围为[－2，7]．
[能力提升综合练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案为：A；
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，
如图．
综上，有丙⇒甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
2．设0
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：B；
解析：因为0< x<，所以0
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b ⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b ⊂β，a∥β，b∥α
答案为：D；
解析：当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．
4．设{an}是等比数列，则“a1
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：C；
解析：{ an }为等比数列，an＝a1·qn－1，由a1
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2< x<－1，则a取值范围是_____．
答案为：(2，＋∞)
解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，
应有(－2，－1)⊆{ x |( a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
6．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式a x 2＋b x＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
答案为：④
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.
所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.
因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根
⇔⇔k<－2.
因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解：依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，
得x－1<－a或x－1>a，
∴x<1－a或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，
应有或
解得a≥.令a＝1，则p：x<0或x>2，
此时必有x<或x>1.
即p⇒q，反之不成立．
∴最小正整数a＝1.
归纳总结，核心必记
(1)充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
(2)充要条件
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
[问题思考]
(1)x>3是x>5的充分条件吗？
提示：不是．因为x>3x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．
(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．
(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？
提示：A＝B．
[思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？
名师指津：当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．
讲一讲
1．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC;
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a
(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；
反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.
因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；
由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
练一练
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
[思考] 如何证明“p是q的充要条件”？
名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．
讲一讲
2．证明：a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0垂直的充要条件．
[尝试解答]
(1)(充分性)当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，
此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直．
当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，
若a＋2b＝0，则k1·k2＝·＝－1，两直线垂直．
(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在，则k1·k2＝·＝－1，
所以a＋2b＝0.
若两直线中直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
练一练
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：(充分性)：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
(必要性)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
已知p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
[思考1] 若p是q的充分条件，则A与B有什么关系？
名师指津：A⊆B．
[思考2] 若p是q的充分不必要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：AB．
[思考3] 若p是q的充要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：A＝B．
[思考4] 若p是q的既不充分也不必要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：BA，且AB．
讲一讲
3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[尝试解答]
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
练一练
3．若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
4．本讲中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．
2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3.
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1.
(2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，
则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，
则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊆B，且B⊆A，则p既不是q的充分条件，
也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3.
课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1 充分、必要条件的判断
1．“数列{an}为等比数列”是“an＝3n(n∈N*)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：B；
解析：当an＝3n时，{an}一定为等比数列，但当{an}为等比数列时，不一定有an＝3n，
故应为必要不充分条件．
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：A；
解析：由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．
3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：C；
解析：当a＝0时，两直线方程分别为x＝1和2x＝1，显然两直线平行；
反之，若两直线平行，必有1×(－2a)＝(－2a)×2，解得a＝0，故应为充要条件．
4．“sin A＝”是“A＝”的__________条件．
答案为：必要不充分
解析：由sin A＝不一定能推得A＝，例如A＝等；
但由A＝一定可推得sin A＝，所以“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．
题组2 充要条件的证明
5．函数y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是 ( )
A．1< a<2 B.< a<2 C．a<1 D．a<0
答案为：C；
解析：由指数函数性质得，当y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数时，2－a>1，解得a<1.
故选C.
6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－kx＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1
答案为：C；
解析：∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
由于{a|a<－1}⊆{a|a<0}，故选C.
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________．
答案为：－
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－.
9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x| x 2－5 x－24<0}，若N是M的必要条件，求a取值范围．
解：由(x－a)2<1，得a－1
故a的取值范围为[－2，7]．
[能力提升综合练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案为：A；
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，
如图．
综上，有丙⇒甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
2．设0
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：B；
解析：因为0< x<，所以0
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b ⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b ⊂β，a∥β，b∥α
答案为：D；
解析：当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．
4．设{an}是等比数列，则“a1
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：C；
解析：{ an }为等比数列，an＝a1·qn－1，由a1
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2< x<－1，则a取值范围是_____．
答案为：(2，＋∞)
解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，
应有(－2，－1)⊆{ x |( a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
6．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式a x 2＋b x＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
答案为：④
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.
所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.
因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根
⇔⇔k<－2.
因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解：依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，
得x－1<－a或x－1>a，
∴x<1－a或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，
应有或
解得a≥.令a＝1，则p：x<0或x>2，
此时必有x<或x>1.
即p⇒q，反之不成立．
∴最小正整数a＝1.
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