高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试达标测试

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这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试达标测试，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是( )
A．a<0或a>2 B．0答案 B
2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－2A．－18 B．8 C．－13 D．1
答案 C
解析 ∵－2和－eq \f(1,4)是ax2＋bx－2＝0的两根．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－\f(b,a),－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝\f(－2,a)))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4,b＝－9)).
∴a＋b＝－13.
3．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
答案 B
解析 ∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，
∴－1a2>－a2>a.
4．不等式eq \f(1,x)A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 eq \f(1,x)⇔eq \f(x－2,2x)>0⇔x<0或x>2.
5．设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤3，,x－y≥－1，,y≥1，))则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10 C．8 D．2
答案 B
解析画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋eq \f(z,2)，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距eq \f(z,2)最大．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,y＝1))得A(2,1)，∴zmax＝10.
6．已知a、b、c满足cA．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ab2>cb2 D．ac(a－c)<0
答案 C
解析 ∵c0，c<0.
而b与0的大小不确定，在选项C中，若b＝0，则ab2>cb2不成立．
7．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3B．{x|－4C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
答案 A
解析 ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或38．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )
A．－1答案 C
解析 (x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1⇔－x2＋x＋(a2－a－1)<0恒成立
⇔Δ＝1＋4(a2－a－1)<0⇔－eq \f(1,2)9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋eq \f(1,x)
B．y＝cs x＋eq \f(1,cs x) (0C．y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))
D．y＝ex＋eq \f(4,ex)－2
答案 D
解析选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤－2；
选项B中，cs x≠1，故最小值不等于2；
选项C中，eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq \f(x2＋2＋1,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))，
当x＝0时，ymin＝eq \f(3\r(2),2).
选项D中，ex＋eq \f(4,ex)－2>2eq \r(ex·\f(4,ex))－2＝2，
当且仅当ex＝2，
即x＝ln 2时，ymin＝2，适合．
10．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥1,x－y≥－1,2x－y≤2))，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)
答案 B
解析作出可行域如图所示，
直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1<－eq \f(a,2)<2，
即－411．若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 D
解析由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，得到y＝eq \f(2x,x－8)，
则μ＝x＋y＝x＋eq \f(2x,x－8)＝x＋eq \f(2x－16＋16,x－8)
＝(x－8)＋eq \f(16,x－8)＋10≥2eq \r(x－8·\f(16,x－8))＋10＝18，
当且仅当x－8＝eq \f(16,x－8)，即x＝12，y＝6时取“＝”．
12．若实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,x>0，))则eq \f(y,x－1)的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．[1，＋∞)
答案 B
解析可行域如图阴影，eq \f(y,x－1)的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得eq \f(y,x－1)>1或eq \f(y,x－1)<－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．
答案 A14．不等式eq \f(x－1,x2－x－30)>0的解集是
________________________________________________________________________．
答案 {x|－56}
15．如果a>b，给出下列不等式：
①eq \f(1,a)b3；③eq \r(a2)>eq \r(b2)；④2ac2>2bc2；
⑤eq \f(a,b)>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
答案 ②⑥
解析 ①若a>0，b<0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故①不成立；
②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a>b.
∴a3>b3，故②成立；
③取a＝0，b＝－1，知③不成立；
④当c＝0时，ac2＝bc2＝0,2ac2＝2bc2，
故④不成立；
⑤取a＝1，b＝－1，知⑤不成立；
⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b)
＝eq \f(1,2)[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]>0，
∴a2＋b2＋1>ab＋a＋b，故⑥成立．
16．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
答案 8
解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝eq \f(400＋16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2,v)＝eq \f(400,v)＋eq \f(16v,400)≥2 eq \r(\f(400,v)×\f(16v,400))＝8(小时)，
当且仅当eq \f(400,v)＝eq \f(16v,400)，即v＝100时等号成立，
此时t＝8小时．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0,\f(4,1－a)＝－2,\f(6,1－a)＝－3))，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>eq \f(3,2).
∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－1或x>\f(3,2))).
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
18．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
解原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,7)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,8)))<0.
①当－eq \f(a,7)0时，－eq \f(a,7)②当－eq \f(a,7)＝eq \f(a,8)，即a＝0时，原不等式解集为∅；
③当－eq \f(a,7)>eq \f(a,8)，即a<0时，eq \f(a,8)综上知，当a>0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(a,7)当a＝0时，原不等式的解集为∅；
当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(a,8)19．(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2c2a2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，
c2a2＋a2b2≥2a2bc.
∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
∴a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
20．(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤10，,0.3x＋0.1y≤1.8，,x≥0，,y≥0.))
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,0.3x＋0.1y＝1.8，))
得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
21．(12分)设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0解设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，
且0所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0>0，,f1<0，,f2>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2>0，,7－a＋13＋a2－a－2<0，,28－2a＋13＋a2－a－2>0))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2>0，,a2－2a－8<0，,a2－3a>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1或a>2，,－23))
⇒－2所以a的取值范围是{a|－222．(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
解 (1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分eq \f(36,x)批，每批价值20x.
由题意f(x)＝eq \f(36,x)·4＋k·20x，
由x＝4时，y＝52，得k＝eq \f(16,80)＝eq \f(1,5).
∴f(x)＝eq \f(144,x)＋4x (0(2)由(1)知f(x)＝eq \f(144,x)＋4x (0∴f(x)≥2eq \r(\f(144,x)·4x)＝48(元)．
当且仅当eq \f(144,x)＝4x，即x＝6时，上式等号成立．
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．

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