人教版新课标A必修53.4 基本不等式一课一练

这是一份人教版新课标A必修53.4 基本不等式一课一练，共4页。试卷主要包含了函数y＝eq \f)的最小值为等内容，欢迎下载使用。
课时目标
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为eq \f(s2,4).
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2eq \r(p).
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
一、选择题
1．函数y＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－1)＋5)) (x>1)的最小值为( )

A．－3 B．3 C．4 D．－4
答案 B
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2) C．16 D．不存在
答案 B
解析 ∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2eq \r(2x·4y)＝2eq \r(2x＋2y)＝4eq \r(2)(x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(3,4)时取等号)．
3．已知x≥eq \f(5,2)，则f(x)＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)有( )
A．最大值eq \f(5,2) B．最小值eq \f(5,4) C．最大值1 D．最小值1
答案 D
解析 f(x)＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq \f(x－22＋1,2x－2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1.
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时等号成立．
4．函数y＝eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C．1 D．不存在
答案 B
解析 y＝eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))＝eq \r(x2＋4)＋eq \f(1,\r(x2＋4))
∵eq \r(x2＋4)≥2，而eq \f(1,\r(x2＋4))≤eq \f(1,2)，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋eq \f(1,x)在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．
∴当eq \r(x2＋4)＝2即x＝0时，ymin＝eq \f(5,2).
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)
答案 B
解析 ∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤(eq \f(x＋2y,2))2.
∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.
当x＝2，y＝1时取等号．
6．若xy是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是( )
A．3 B.eq \f(7,2) C．4 D.eq \f(9,2)
答案 C
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2
＝x2＋y2＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(y,x)))≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)或x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号．
二、填空题
7．设x>－1，则函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝eq \f(t＋4t＋1,t)＝eq \f(t2＋5t＋4,t)＝t＋eq \f(4,t)＋5≥
2eq \r(t·\f(4,t))＋5＝9，
当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，
函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值为9.
8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．
答案 9
解析 ∵a＋b－ab＋3＝0，
∴ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3.
令eq \r(ab)＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即eq \r(ab)≥3.
∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．
9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
答案 1 760
解析 设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为eq \f(4,x) m．那么
y＝120·4＋2·80·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2·\f(4,x)))＝480＋320eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))
≥480＋320·2eq \r(x·\f(4,x))＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
10．函数y＝lga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
答案 8
解析 ∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
∴eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(4m＋2n,n)＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)＋2≥4＋2·eq \r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8.
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即m＝eq \f(1,4)，n＝eq \f(1,2)时等号成立．
故eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为8.
三、解答题
11．已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．
解 方法一 ∵eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y).
∵x>0，y>0，∴eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6.
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即y＝3x时，取等号．
又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二 由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得x＝eq \f(y,y－9)，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝eq \f(y,y－9)＋y＝y＋eq \f(y－9＋9,y－9)＝y＋eq \f(9,y－9)＋1
＝(y－9)＋eq \f(9,y－9)＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋eq \f(9,y－9)＋10≥2 eq \r(y－9·\f(9,y－9))＋10＝16，
当且仅当y－9＝eq \f(9,y－9)，即y＝12时取等号．
又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
解 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝eq \f(10＋0.9x＋\f(0.2x2＋0.2x,2),x)，
即y＝1＋eq \f(10,x)＋eq \f(x,10)(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2 eq \r(\f(10,x)·\f(x,10))＝3，当且仅当eq \f(10,x)＝eq \f(x,10)，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
能力提升
13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M
答案 A
解析 ∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤eq \f(k4＋4,1＋k2).
∵eq \f(k4＋4,1＋k2)＝eq \f(1＋k22－21＋k2＋5,1＋k2)＝(1＋k2)＋eq \f(5,1＋k2)－2≥2eq \r(5)－2.
∴x≤2eq \r(5)－2，M＝{x|x≤2eq \r(5)－2}，∴2∈M,0∈M.
14．设正数x，y满足eq \r(x)＋eq \r(y)≤a·eq \r(x＋y)恒成立，则a的最小值是______．
答案 eq \r(2)
解析 ∵eq \f(\r(x)＋\r(y),2)≤ eq \r(\f(x＋y,2))成立，
∴eq \r(x)＋eq \r(y)≤eq \r(2)·eq \r(x＋y)，∴a≥eq \r(2).
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．