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初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形综合与测试精品练习
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这是一份初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形综合与测试精品练习，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
9章：中心对称图形-平行四边形 章末复习(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，
则这个角度不可能是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
(1) (4) (5)
2、下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3、对于任意的矩形，下列说法一定正确的是 ( )
A．对角线垂直且相等 B．四边都互相垂直
C．四个角都相等 D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
5、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )
A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF
6、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC ②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点 ④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A． 3 B． 4 C． 1 D． 2
7、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
(7) (8) (9) (10)
8、如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，
则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
9、已知平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连结，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10、如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
11、如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，
DE=AF=1，则GF的长为( )
A． B． C． D．
(11) (12) (13) (14)
12、如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则
A． B． C． D．
13、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
14、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为( )
A. (0，0) B. (1，) C. (，) D. (，)
二、填空题
15、如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．
(15) (16) (18)
16、如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：
①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；
②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C，再以A'C所在直线为对称轴作轴对称；
③将△ABC向下、向左各平移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称．其中正确的变换有( )
A.①② B.①③ C.②③ D．①②③
17、一个平行四边形的两条对角线的长分别为和，则它的一条边长的取值范围是
18、如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，
则EF长为______________
19、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
(19) (20) (21)
20、如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：①AC＝DE；②CD＝AE；
③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB． 其中正确的序号有_______．
21、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，
则菱形ABCD的周长为________．
22、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
(22) (23) (24)
23、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ．
24、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为 ．
三、解答题
25、如图，E、F在正方形的边上，．
（1）是由旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？
（2）求证：；
（3）若，求正方形的面积．
26、如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO=CO．
（1）求证∶△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF______（填"是"或"不是"）平行四边形．
27、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
28、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，
延长至，使，连接．
（1）求证：△；
（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
29、如图，矩形中，点E在边上，将沿折叠，点C落在边上的点F处，过点F作交于点G，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
30、四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：
⑴四边形对角互补；
⑵若四边形为平行四边形，则四边形为矩形．
⑶四边形为长方形，则四边形为正方形．
31、如图，以△ABC的边AB、AC为边的等边三角ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形．
(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；
(2)当∠BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；
(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形，正方形？
32、已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是 ，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足 条件时，四边形是矩形；证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
33、如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
（1）求证：．
（2）若．求证：四边形是正方形．
34、在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，正方形ABCD的对角线
交于点O（如图1）．
（1）如图1，OM⊥EM并交EB延长线于点M，ON⊥AE，且交EA于点N，求证：EO平分∠AEB；
（2）如图1，延长EA到P，使AP＝BE，连接OP，试猜想线段OE与OP是否相等，并证明；
（3）如图2，过点C作CF⊥EB并交EB的延长线于点F，过点D作DH⊥EA并交EA的延长线于点H，CF和DH的反向延长线交于点G，求证：四边形EFGH为正方形．
9章：中心对称图形-平行四边形 章末复习(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，
则这个角度不可能是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】解：如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°
∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，
故性质90°不可能与原来图形重合， 故选：B．
2、下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
B． B． C． D．
【答案】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；
、不是轴对称图形，不是中心对称图形；
、不是轴对称图形，是中心对称图形；
、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
3、对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等 B．四边都互相垂直
C．四个角都相等 D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
【解析】A．矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
B．矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
C．矩形的四个角都相等，正确；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；故选C.
5、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是
A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF
【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DEAC．
A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
6、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC ②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点 ④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A． 3 B． 4 C． 1 D． 2
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ACD＝S△ABC，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，S△ACD＝AC·DE，S△ABC＝AC·BF，∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴DF＝CD，BE＝AB，
∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB上一点，EF⊥AB，无法判定DF＝BE，∴四边形BFDE不一定是平行四边形．
故选A.
7、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
【解析】本题考查勾股定理、三角形的中位线定理和四边形的周长 . 解题思路：
⇒四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋HG＋EH＝11. 故选D
8、如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，
则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△DAB的中位线．∴AB＝2EF＝10．
∵菱形的四边相等，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40．故选C．
9、已知平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连结，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵的周长是平行四边形周长的一半，即AD+CD=CD+DE+EC，
∴AE=EC=5，即为等腰三角形．
∵点O是平行四边形对角线交点，∴点O为AC中点．∴EO垂直平分AC．∴AO=4．
在中，．故选：B
10、如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝． 故选：C．
11、如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，
DE=AF=1，则GF的长为
A． B． C． D．
【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB =90°=∠CGE，
∵=BC=BECG,
∴CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=， 故选A．
12、如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则
A． B． C． D．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．
又AD＝AD，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．
∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．
13、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE，∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，∴AG⊥BE，故②正确；
∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：B．
14、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为( )
A. (0，0) B. (1，) C. (，) D. (，)
【解析】如解图，连接CA、AD，CA与OB相交于点E，过点E作EF⊥OA，交OA于点F.
由题知点C关于OB的对称点是点A，AD与BO的交点即为点P.
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，
可知△COE∽△EOF， ∴＝，∵OC＝OA＝5，OE＝＝2，
∴OF＝＝＝4，
根据勾股定理可得EF＝＝＝2，
点E的坐标为(4，2)，易得直线OE的函数解析式为y＝x，
直线AD的函数解析式是y＝－x＋1，联立得：，解得，
∴点P的坐标为(，)．故选D
二、填空题
15、如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．
【解答】解：旋转中心为点A，
旋转角为∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°+30°＝90°；
故答案为A，90°．
16、如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：
①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；
②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C，再以A'C所在直线为对称轴作轴对称；
③将△ABC向下、向左各平移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称．其中正确的变换有( )
A.①② B.①③ C.②③ D．①②③
答案A 根据题意分析可得△DEC可以由△ABC经过：
①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°得到，故正确；
②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C，再以A'C所在直线为对称轴作轴对称变化得到，故正确；③将△ABC向下、向左各平移1个单位，所得三角形与△DEC为轴对称图形，以AC的中点为中心，作中心
对称得不到△DEC，故错误．
17、一个平行四边形的两条对角线的长分别为和，则它的一条边长的取值范围是
【解析】如图，不妨设，，，在中，
，，由三角形三边关系可得
，即．
18、如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，
则EF长为______________
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．∴∠AFB＝∠FBC．
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠AFB＝∠ABF．∴AF＝AB＝6．
同理可得DF＝DC＝6． ∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．
19、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°. ∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.
又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．
如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB， 又∵AE＝AF，∴AD＝AB.
20、如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：①AC＝DE；②CD＝AE；
③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB． 其中正确的序号有_______．
解：①∵DE∥BC，AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴BC=DE，
∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴AC=DE；故①正确；
∵四边形BCDE是平行四边形，∴CD=BE，∵E为AB的中点，∴AE=BE，∴CD=AE；故②正确；
∵AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∵∠A=∠B，∴∠ACD=∠B，但∠B不一定等于∠ACB，
故AC不一定是∠BCD的平分线；故③错误；
在△AOE和△COD中，∴△AOE≌△COD（AAS），∴OE=OD，
即O是DE的中点；故④正确；
∵AC=BC，但不能确定AC=AB，故⑤错误．
答案： ①②④
21、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，
则菱形ABCD的周长为________．
【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴AB＝2EF＝4，
∴菱形ABCD周长是4AB＝16.
22、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
【解析】①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，
∴∠B＝180°－∠C＝60°，故①正确；
②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，
但是AE不一定等于AF，故②错误；
③若AE＝AF，则BC·AE＝CD·AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；
④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC·AE＝CD·AF，∴AE＝AF，故④正确；
故答案为①③④.
23、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 1+ ．
24、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为 ．
解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，CM＝AE＝1，
∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，
设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BF＝，∴△BEF的面积为××2＝．故答案为：．
三、解答题
25、如图，E、F在正方形的边上，．
（1）是由旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？
（2）求证：；
（3）若，求正方形的面积．
解：（1）由旋转性质可得旋转中心为A点，旋转角度为90°；
（2）由旋转而来，，
，，
在由中，，；
（3）设正方形边长为，
，或（舍弃）
∴正方形面积为．
26、如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO=CO．
（1）求证∶△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF______（填"是"或"不是"）平行四边形．
解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中, ∴△AOF和△COE（ASA）．
（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，
又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．
27、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
28、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，
延长至，使，连接．
（1）求证：△；
（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
29、如图，矩形中，点E在边上，将沿折叠，点C落在边上的点F处，过点F作交于点G，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
解：（1）证明：由题意可得，，∴，，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中，，，，
∴，，∴，∴，
设，则，，
∵，∴+，解得，，∴，
∴四边形的面积是：．
30、四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：
⑴四边形对角互补；
⑵若四边形为平行四边形，则四边形为矩形．
⑶四边形为长方形，则四边形为正方形．
解析：⑴ 因为，
，
所以
⑵ 若四边形为平行四边形，则
所以．
从而，故．
同理，四边形的另两个角都是直角，所以，四边形为矩形．
⑶ 若四边形为矩形，则由⑵知四边形是矩形．
，，，，，
故矩形为正方形．
31、如图，以△ABC的边AB、AC为边的等边三角ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形．
(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；
(2)当∠BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；
(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形，正方形？
【答案】解 (1)当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形，∴∠DAE＝360°－120°－150°＝90°；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)；
(2)当∠BAC＝60°时，平行四边形ADFE不存在， ∠DAE＝180°－60°－60°－60°＝0°；
(3)当AB＝AC且∠BAC不等于60°时，平行四边形ADFE是菱形．
当AB＝AC，∠BAC＝150°时，平行四边形ADFE是正方形．
32、已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是 ，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足 条件时，四边形是矩形；证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
【答案】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图1，连结BD．∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH＝BD，
同理FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图2，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图3，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH＝BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；互相垂直．
33、如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
（1）求证：．
（2）若．求证：四边形是正方形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．
在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠EFG＝90°，∴平行四边形EFGH是正方形．
34、在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，正方形ABCD的对角线
交于点O（如图1）．
（1）如图1，OM⊥EM并交EB延长线于点M，ON⊥AE，且交EA于点N，求证：EO平分∠AEB；
（2）如图1，延长EA到P，使AP＝BE，连接OP，试猜想线段OE与OP是否相等，并证明；
（3）如图2，过点C作CF⊥EB并交EB的延长线于点F，过点D作DH⊥EA并交EA的延长线于点H，CF和DH的反向延长线交于点G，求证：四边形EFGH为正方形．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOA＝90°，OB＝OA，∴∠BON+∠AON＝90°，
∵∠AEB＝90°，OM⊥EM，ON⊥AE，∴四边形MENO为矩形，∴∠MON＝90°，
∴∠BON+∠BOM＝90°，∴∠BOM＝∠AON，
在△BOM和△AON中，，∴△BOM≌△AON（AAS），∴OM＝ON，
∵OM⊥EM，ON⊥AE，∴EO平分∠AEB；
（2）解：OE＝OP，
理由如下：由（1）可知，△BOM≌△AON，∴∠OBM＝∠OAN，∴∠OBE＝∠OAP，
在△OBE和△OAP中，，∴△OBE≌△OAP（SAS），∴OE＝OP；
（3）证明：∵CF⊥EB，DH⊥EA，∴∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，∴四边形EFGH为矩形，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．
在△ABE与△ADH中，，∴△ABE≌△ADH（AAS），∴BE＝AH，AE＝DH，
同理可得：△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，
∴BE＝CF，AE＝BF，AH＝DG，DH＝CG，DG＝CF，CG＝BF，
∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH＝DH+DG，∴FG＝EF＝EH＝HG，∴四边形EFGH为正方形．
9章：中心对称图形-平行四边形 章末复习(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，
则这个角度不可能是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
(1) (4) (5)
2、下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3、对于任意的矩形，下列说法一定正确的是 ( )
A．对角线垂直且相等 B．四边都互相垂直
C．四个角都相等 D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
5、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )
A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF
6、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC ②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点 ④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A． 3 B． 4 C． 1 D． 2
7、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
(7) (8) (9) (10)
8、如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，
则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
9、已知平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连结，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10、如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
11、如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，
DE=AF=1，则GF的长为( )
A． B． C． D．
(11) (12) (13) (14)
12、如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则
A． B． C． D．
13、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
14、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为( )
A. (0，0) B. (1，) C. (，) D. (，)
二、填空题
15、如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．
(15) (16) (18)
16、如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：
①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；
②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C，再以A'C所在直线为对称轴作轴对称；
③将△ABC向下、向左各平移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称．其中正确的变换有( )
A.①② B.①③ C.②③ D．①②③
17、一个平行四边形的两条对角线的长分别为和，则它的一条边长的取值范围是
18、如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，
则EF长为______________
19、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
(19) (20) (21)
20、如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：①AC＝DE；②CD＝AE；
③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB． 其中正确的序号有_______．
21、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，
则菱形ABCD的周长为________．
22、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
(22) (23) (24)
23、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ．
24、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为 ．
三、解答题
25、如图，E、F在正方形的边上，．
（1）是由旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？
（2）求证：；
（3）若，求正方形的面积．
26、如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO=CO．
（1）求证∶△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF______（填"是"或"不是"）平行四边形．
27、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
28、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，
延长至，使，连接．
（1）求证：△；
（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
29、如图，矩形中，点E在边上，将沿折叠，点C落在边上的点F处，过点F作交于点G，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
30、四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：
⑴四边形对角互补；
⑵若四边形为平行四边形，则四边形为矩形．
⑶四边形为长方形，则四边形为正方形．
31、如图，以△ABC的边AB、AC为边的等边三角ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形．
(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；
(2)当∠BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；
(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形，正方形？
32、已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是 ，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足 条件时，四边形是矩形；证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
33、如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
（1）求证：．
（2）若．求证：四边形是正方形．
34、在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，正方形ABCD的对角线
交于点O（如图1）．
（1）如图1，OM⊥EM并交EB延长线于点M，ON⊥AE，且交EA于点N，求证：EO平分∠AEB；
（2）如图1，延长EA到P，使AP＝BE，连接OP，试猜想线段OE与OP是否相等，并证明；
（3）如图2，过点C作CF⊥EB并交EB的延长线于点F，过点D作DH⊥EA并交EA的延长线于点H，CF和DH的反向延长线交于点G，求证：四边形EFGH为正方形．
9章：中心对称图形-平行四边形 章末复习(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，
则这个角度不可能是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】解：如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°
∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，
故性质90°不可能与原来图形重合， 故选：B．
2、下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
B． B． C． D．
【答案】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；
、不是轴对称图形，不是中心对称图形；
、不是轴对称图形，是中心对称图形；
、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
3、对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等 B．四边都互相垂直
C．四个角都相等 D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
【解析】A．矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
B．矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
C．矩形的四个角都相等，正确；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；故选C.
5、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是
A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF
【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DEAC．
A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
6、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC ②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点 ④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A． 3 B． 4 C． 1 D． 2
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ACD＝S△ABC，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，S△ACD＝AC·DE，S△ABC＝AC·BF，∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴DF＝CD，BE＝AB，
∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB上一点，EF⊥AB，无法判定DF＝BE，∴四边形BFDE不一定是平行四边形．
故选A.
7、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
【解析】本题考查勾股定理、三角形的中位线定理和四边形的周长 . 解题思路：
⇒四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋HG＋EH＝11. 故选D
8、如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，
则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△DAB的中位线．∴AB＝2EF＝10．
∵菱形的四边相等，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40．故选C．
9、已知平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连结，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵的周长是平行四边形周长的一半，即AD+CD=CD+DE+EC，
∴AE=EC=5，即为等腰三角形．
∵点O是平行四边形对角线交点，∴点O为AC中点．∴EO垂直平分AC．∴AO=4．
在中，．故选：B
10、如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝． 故选：C．
11、如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，
DE=AF=1，则GF的长为
A． B． C． D．
【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB =90°=∠CGE，
∵=BC=BECG,
∴CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=， 故选A．
12、如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则
A． B． C． D．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．
又AD＝AD，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．
∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．
13、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE，∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，∴AG⊥BE，故②正确；
∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：B．
14、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为( )
A. (0，0) B. (1，) C. (，) D. (，)
【解析】如解图，连接CA、AD，CA与OB相交于点E，过点E作EF⊥OA，交OA于点F.
由题知点C关于OB的对称点是点A，AD与BO的交点即为点P.
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，
可知△COE∽△EOF， ∴＝，∵OC＝OA＝5，OE＝＝2，
∴OF＝＝＝4，
根据勾股定理可得EF＝＝＝2，
点E的坐标为(4，2)，易得直线OE的函数解析式为y＝x，
直线AD的函数解析式是y＝－x＋1，联立得：，解得，
∴点P的坐标为(，)．故选D
二、填空题
15、如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．
【解答】解：旋转中心为点A，
旋转角为∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°+30°＝90°；
故答案为A，90°．
16、如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：
①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；
②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C，再以A'C所在直线为对称轴作轴对称；
③将△ABC向下、向左各平移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称．其中正确的变换有( )
A.①② B.①③ C.②③ D．①②③
答案A 根据题意分析可得△DEC可以由△ABC经过：
①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°得到，故正确；
②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C，再以A'C所在直线为对称轴作轴对称变化得到，故正确；③将△ABC向下、向左各平移1个单位，所得三角形与△DEC为轴对称图形，以AC的中点为中心，作中心
对称得不到△DEC，故错误．
17、一个平行四边形的两条对角线的长分别为和，则它的一条边长的取值范围是
【解析】如图，不妨设，，，在中，
，，由三角形三边关系可得
，即．
18、如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，
则EF长为______________
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．∴∠AFB＝∠FBC．
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠AFB＝∠ABF．∴AF＝AB＝6．
同理可得DF＝DC＝6． ∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．
19、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°. ∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.
又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．
如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB， 又∵AE＝AF，∴AD＝AB.
20、如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：①AC＝DE；②CD＝AE；
③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB． 其中正确的序号有_______．
解：①∵DE∥BC，AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴BC=DE，
∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴AC=DE；故①正确；
∵四边形BCDE是平行四边形，∴CD=BE，∵E为AB的中点，∴AE=BE，∴CD=AE；故②正确；
∵AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∵∠A=∠B，∴∠ACD=∠B，但∠B不一定等于∠ACB，
故AC不一定是∠BCD的平分线；故③错误；
在△AOE和△COD中，∴△AOE≌△COD（AAS），∴OE=OD，
即O是DE的中点；故④正确；
∵AC=BC，但不能确定AC=AB，故⑤错误．
答案： ①②④
21、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，
则菱形ABCD的周长为________．
【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴AB＝2EF＝4，
∴菱形ABCD周长是4AB＝16.
22、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：
①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，
③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，
其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
【解析】①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，
∴∠B＝180°－∠C＝60°，故①正确；
②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，
但是AE不一定等于AF，故②错误；
③若AE＝AF，则BC·AE＝CD·AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；
④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC·AE＝CD·AF，∴AE＝AF，故④正确；
故答案为①③④.
23、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 1+ ．
24、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为 ．
解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，CM＝AE＝1，
∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，
设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BF＝，∴△BEF的面积为××2＝．故答案为：．
三、解答题
25、如图，E、F在正方形的边上，．
（1）是由旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？
（2）求证：；
（3）若，求正方形的面积．
解：（1）由旋转性质可得旋转中心为A点，旋转角度为90°；
（2）由旋转而来，，
，，
在由中，，；
（3）设正方形边长为，
，或（舍弃）
∴正方形面积为．
26、如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO=CO．
（1）求证∶△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF______（填"是"或"不是"）平行四边形．
解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中, ∴△AOF和△COE（ASA）．
（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，
又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．
27、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
28、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，
延长至，使，连接．
（1）求证：△；
（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
29、如图，矩形中，点E在边上，将沿折叠，点C落在边上的点F处，过点F作交于点G，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
解：（1）证明：由题意可得，，∴，，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中，，，，
∴，，∴，∴，
设，则，，
∵，∴+，解得，，∴，
∴四边形的面积是：．
30、四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：
⑴四边形对角互补；
⑵若四边形为平行四边形，则四边形为矩形．
⑶四边形为长方形，则四边形为正方形．
解析：⑴ 因为，
，
所以
⑵ 若四边形为平行四边形，则
所以．
从而，故．
同理，四边形的另两个角都是直角，所以，四边形为矩形．
⑶ 若四边形为矩形，则由⑵知四边形是矩形．
，，，，，
故矩形为正方形．
31、如图，以△ABC的边AB、AC为边的等边三角ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形．
(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；
(2)当∠BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；
(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形，正方形？
【答案】解 (1)当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形，∴∠DAE＝360°－120°－150°＝90°；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)；
(2)当∠BAC＝60°时，平行四边形ADFE不存在， ∠DAE＝180°－60°－60°－60°＝0°；
(3)当AB＝AC且∠BAC不等于60°时，平行四边形ADFE是菱形．
当AB＝AC，∠BAC＝150°时，平行四边形ADFE是正方形．
32、已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是 ，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足 条件时，四边形是矩形；证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
【答案】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图1，连结BD．∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH＝BD，
同理FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图2，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图3，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH＝BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；互相垂直．
33、如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
（1）求证：．
（2）若．求证：四边形是正方形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．
在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠EFG＝90°，∴平行四边形EFGH是正方形．
34、在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，正方形ABCD的对角线
交于点O（如图1）．
（1）如图1，OM⊥EM并交EB延长线于点M，ON⊥AE，且交EA于点N，求证：EO平分∠AEB；
（2）如图1，延长EA到P，使AP＝BE，连接OP，试猜想线段OE与OP是否相等，并证明；
（3）如图2，过点C作CF⊥EB并交EB的延长线于点F，过点D作DH⊥EA并交EA的延长线于点H，CF和DH的反向延长线交于点G，求证：四边形EFGH为正方形．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOA＝90°，OB＝OA，∴∠BON+∠AON＝90°，
∵∠AEB＝90°，OM⊥EM，ON⊥AE，∴四边形MENO为矩形，∴∠MON＝90°，
∴∠BON+∠BOM＝90°，∴∠BOM＝∠AON，
在△BOM和△AON中，，∴△BOM≌△AON（AAS），∴OM＝ON，
∵OM⊥EM，ON⊥AE，∴EO平分∠AEB；
（2）解：OE＝OP，
理由如下：由（1）可知，△BOM≌△AON，∴∠OBM＝∠OAN，∴∠OBE＝∠OAP，
在△OBE和△OAP中，，∴△OBE≌△OAP（SAS），∴OE＝OP；
（3）证明：∵CF⊥EB，DH⊥EA，∴∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，∴四边形EFGH为矩形，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．
在△ABE与△ADH中，，∴△ABE≌△ADH（AAS），∴BE＝AH，AE＝DH，
同理可得：△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，
∴BE＝CF，AE＝BF，AH＝DG，DH＝CG，DG＝CF，CG＝BF，
∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH＝DH+DG，∴FG＝EF＝EH＝HG，∴四边形EFGH为正方形．
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