苏科版八年级下册9.3 平行四边形课后练习题

八年级下册第9章：中心对称图形—平行四边形

专项培优训练（一）

1．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形

（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．

2．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．

（1）求证：△BEF≌△CDF；

（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？

3．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．

（1）求∠ODC的度数；

（2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长．

4．取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．

试问：（1）当α为多少度时，能使得图2中AB∥DC；

（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．

5．如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD＝6，AE＝5BE，BF＝5CF，若△DEF为等边三角形．

（1）求∠A的度数；

（2）求菱形ABCD的面积．

6．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．

（1）求（AF+1）（CE+1）的值；

（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．

7．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．

（1）求证：BE＝AF；

（2）若AB＝4，DE＝1，求AF的长．

8．如图，AC是正方形ABCD的对角线，E、F分别为BC、CD边上的点，CE＝CF，连接AE、AF．

（1）求证：AE＝AF；

（2）连接EF，试证明：EF⊥AC．

9．已知，如图甲：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形．

（1）填空：当△ACD绕点C顺时针旋转　   　时，旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形（旋转的角度小于360°）；

（2）把图甲中△ACD绕点C顺时针旋转60°后得到如图乙，并连接EB，设线段CE与AB相交于点F．

①求证：BE＝BF；

②若AC＝2，求四边形ACBE的面积．

10．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外的一点．将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，连接DE．求证：DE＝AE．

参考答案

1．（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AM∥CN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CM∥AN

∴四边形CMAN是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED＝∠CFB＝90°，

在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，

∴△ADE≌△CBF（AAS）；

∴DE＝BF＝8，

∵FN＝6，

∴．

2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝CD，AB∥CD．

∵BE＝AB，

∴BE＝CD．

∵AB∥CD，

∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，

在△BEF与△CDF中，

，

∴△BEF≌△CDF（ASA）；

（2）解：∠BFD＝2∠A时，四边形BECD成为矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，

∵AB＝BE，

∴CD＝EB，

∴四边形BECD是平行四边形，

∴BF＝CF，EF＝DF，

∵∠BFD＝2∠A，

∴∠BFD＝2∠DCF，

∴∠DCF＝∠FDC，

∴DF＝CF，

∴DE＝BC，

∴四边形BECD是矩形．

3．解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，

∵∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝60°，

∴∠DCO＝∠ACO+∠ACD＝∠ACO+∠OCB＝60°．

∴△OCD为等边三角形．

∴∠ODC＝60°．

答：∠ODC的度数为60°．

（2）由旋转的性质得，AD＝OB＝4．∠ADC＝∠BOC＝150°

∵△OCD为等边三角形，

∴OD＝OC＝5．

∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，

∴∠ADO＝90°．

在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．

答：AO的长为．

4．解：（1）由题意∠CAC′＝α，

要使AB∥DC，须∠BAC＝∠ACD，

∴∠BAC＝30°，α＝∠CAC′＝∠BAC′﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°，

即α＝15°时，能使得AB∥DC．

（2）连接BD，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°，

当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．

∵∠EFC′＝∠BDC+∠DBC′，∠CAC′＝α，∠FEC′＝∠C+α，

又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′＝180°，

∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′＝180°，

又∵∠C′＝45°，∠C＝30°，

∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC＝105°．

5．解：（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．

∵AD∥CB，

∴△BGE∽△AHE，

∵AB＝AD＝6，

∴AE＝BF＝5，CF﹣BE＝1，

令BG＝x，GE＝y，

则EH＝5y，AH＝5x，

在△FGE中，，

在△DEH中，，

根据EF＝ED，BE＝1，易得EF2＝ED2，

即有，

解得，，

∴tan∠A＝，

∴∠A＝60°；

（2）由以上求得知，EH＝AEsin60°＝，，

故．

6．解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，

∵AF+CE＝EF，

∴EF＝x+y．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝90°，

∴EF2＝DE2+DF2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，

∴xy+x+y＝1，

∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；

（2）∠EBF的度数为定值，理由如下：

如图，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合．

由旋转，可得：AB＝CB，BF＝BM，AF＝CM，∠ABF＝∠CBM，∠BCM＝∠A＝90°，

∴∠BCM+∠BCD＝90°+90°＝180°，

∴点M、C、E在同一条直线上．

∵AF+CE＝EF，CM+CE＝EM，

∴EF＝EM．

在△BEF和△BEM中，，

∴△BEF≌△BEM（SSS），

∴∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，

又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE，

∴∠EBF＝∠ABC＝45°．

7．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，

∵DE＝CF，

∴AE＝DF，

在△BAE和△ADF中，

，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE＝AF；

（2）解：∵AB＝4，四边形ABCD是正方形，

∴AD＝4，

∵DE＝1，

∴AE＝3，

∴BE＝＝＝5，

∵△BAE≌△ADF，

∴BE＝AF＝5．

8．证明：（1）在正方形ABCD中，则∠ACE＝∠ACF＝45°，

在△AEC和△AFC中

，

∴△AEC≌△AFC（SAS），

∴AE＝AF；

（2）∵CE＝CF，∠ACE＝∠ACF，

∴EF⊥AC．

9．

解：（1）如图甲，当△ACD绕点C顺时针旋转75°或255°时，旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形；

（2）①证明：

∵BC＝CE，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝30°，

∴∠CEB＝∠CBE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，

∠EBF＝∠CBE﹣∠CBF＝75°﹣45°＝30°，

∴∠EFB＝180°﹣∠EBF﹣∠CEB＝180°﹣30°﹣75°＝75°，

即∠EFB＝∠FEB，故BE＝BF；

②如图乙，作△BCE边BC上的高EH，则EH＝CE＝1，

所以，S四边形ACBE＝S△ACE+S△BCE＝×2×+×2×1＝．

故答案为：75°或255°．

10．证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，

∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴DE＝AE．