2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第8章 平面解析几何 8-4 word版含答案

 (时间：40分钟)

1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．(－∞，－3]∪将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是(　　)

A．相交    B．相切

C．相离    D．相交或相切

答案　B

解析　依题意得，直线l的方程是y＝tan150°(x－1)＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，因此该直线与圆相切．

4．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是(　　)

A．(x－)2＋y2＝5    B．(x＋)2＋y2＝5

C．(x－5)2＋y2＝5    D．(x＋5)2＋y2＝5

答案　B

解析　设圆心为(a,0)(a<0 )，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d＝＝1，解得a＝－，所以，所求圆的方程为：(x＋)2＋y2＝5.

5．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)

A.    B．2

C．3   D.

答案　A

解析　如图，在Rt△PAB中，要使切线PB最小，只需圆心与直线y＝x＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min＝＝2，故|BP|min＝ ＝.

6．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．

答案　2

解析　最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.

7．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．

答案　(x－1)2＋(y－2)2＝5

解析　由于圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为(a>0)，又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d等于圆的半径r.由a>0，得到d＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心为(1,2)，半径r＝，则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.

8．已知直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为________________．

答案　x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0

解析　①当斜率不存在时，l的方程为x＝－4.

圆心到l的距离d＝|－4－(－1)|＝3.

此时弦长为2＝8.

符合题意．

②当斜率存在时，设为k，其方程为y＝k(x＋4)，

由题意，|AB|＝8，

故圆心到l的距离d＝3，即＝3，

解得k＝－.

此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0，

综上，所求直线方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.

9．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点M的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．

解　(1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，

当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．

当过点M的直线的斜率存在时，

设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.

由题意知＝2，解得k＝.

∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.

(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.

(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，

∴2＋2＝4，解得a＝－.

10．过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B两点．

(1)若M点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；

(2)若|AB|＝，求动点M的轨迹方程．

解　(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k，则此直线方程可以设为y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．

又反射光线与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切，

所以＝，解得k＝－1或－，

代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.

(2)设动点M的坐标为(x，y)(y≥0)，则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点Q(x，－y)，设动弦AB的中点为P，

则|AP|＝，故|CP|＝＝.

由射影定理|CP|·|CQ|＝|AC|2，得|CQ|＝＝8，即＝8，即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．

(时间：20分钟)

11．已知点(4a,2b)(a>0，b>0)在圆C：x2＋y2＝4和圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝4的公共弦上，则＋的最小值为(　　)

A．8    B．4 

C．2    D．1

答案　A

解析　将两圆方程作差得x＋y－2＝0，即为两圆的公共弦所在的直线方程，因为点(4a,2b)在两圆的公共弦上，故2a＋b＝1(a>0，b>0)．由基本不等式得＋＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝2a时取等号．

12.

如图所示，直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，若满足C2＝A2＋B2，则·(O为坐标原点)等于(　　)

A．－2    B．－1

C．0    D．1

答案　A

解析　原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝＝1，又圆的半径为2，所以∠MON＝120°，所以·＝||·||cos∠MON＝2×2×cos120°＝－2.故选A.

13．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.

答案　4

解析　设圆心到直线l：mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：x－y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.

14．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.

因为l与C交于两点，所以<1，

解得<k<，

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，

整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，

所以l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在l上，所以|MN|＝2.