2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 word版含答案

(时间：40分钟)

1．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)

A．2 B．

C． D．1

答案　B

解析　解法一：由已知＝2，得＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2.∴＝2.∵a>0，∴a＝.

解法二：∵＝＝|a＋i|＝＝2，∴a＝.

2．复数＝(　　)

A．i B．1＋i

C．－i D．1－i

答案　A

解析　＝＝＝＝i，故选A.

3．若z＝1＋2i，则＝(　　)

A．1 B．－1

C．i D．－i

答案　C

解析　∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴＝＝i，故选C.

4．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

答案　D

解析　由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i.

5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

答案　A

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z·i＋2＝2z得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.

6．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．

答案　1

解析　∵z＝＝1－i，∴z的实部为1.

7．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.

答案　

解析　∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴

∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.

8．满足＝i(i为虚数单位)的复数是________．

答案　－

解析　由已知得z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i，

即z＝＝＝＝－.

9．已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.

解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.

根据复数相等的定义，得

解之得或∴z＝－1或z＝－1＋3i.

10．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．

(1)求复数z；

(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．

解　(1)因为z＝bi(b∈R)，

所以＝＝＝＝＋i.

又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.

(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．

(时间：20分钟)

11．复数z为实数的充分不必要条件是(　　)

A．z＝ B．|z|＝z

C．z2为实数 D．z＋为实数

答案　B

解析　z＝⇔z∈R.|z|＝z⇒z∈R，反之不行，例如z＝－2.z2为实数不能推出z∈R，例如z＝i.对于任何z，z＋都是实数．故选B.

12．复数m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案　B

解析　∵m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，设在复平面内对应的点M的坐标为(x，y)，

则消去m得x－3y－1＝0，

因为直线x－3y－1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.

13．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．

答案　

解析　∵|z－2|＝＝

∴(x－2)2＋y2＝3.

由图可知max＝＝.

14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．

解　存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，

则z＋＝a＋bi＋

＝a＋bi.

又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋是实数，根据题意有

因为b≠0，所以

解得或

所以z＝－1－2i或z＝－2－i.